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Pour des raisons d'écriture et d'accessibilité, les vecteurs sont ici en lettre romaine (droite) grasse et les scalaires ("nombres") en italique.

La masse au repos, masse propre ou encore masse invariante (par opposition à la masse relative ou masse relativiste, dépendante du référentiel), usuellement notée , est la masse inerte d'un corps dans un référentiel inertiel où il est au repos, ou d'un système physique dans un référentiel inertiel où son centre d'inertie est au repos. Elle est principalement utilisée en relativité restreinte et en physique des particules.

Sommaire

Masse au reposModifier

Dans tout référentiel inertiel, elle peut être calculée à partir de l'énergie totale   de la particule et de sa quantité de mouvement   par la relation suivante :

 

  est la vitesse de la lumière.

On obtient cette relation à partir de la norme du quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule :

 .

Si la particule est au repos, son énergie au repos   vaut donc :

 .

Masse relativisteModifier

Ce concept vient de la théorie de la relativité restreinte qui a amené Albert Einstein à postuler l'équivalence entre la masse et l'énergie.

L'énergie d'une particule de masse ( au repos)   allant à la vitesse v est et sa masse relativiste est alors définie par  .

Ce qui permet d'utiliser eV et ses multiples comme unité de mesure de l'énergie de la particule ainsi que eV/c² pour la masse.

Système de plusieurs particulesModifier

Le concept de masse invariante peut être généralisé pour un système de plusieurs particules. On ne considérera ici que des systèmes fermés pour des raisons de simplicité.

Cas généralModifier

Dans le cas général, on a la relation suivante :

 
soit  

  est la masse au repos totale du système,   l'énergie totale du système et   la quantité de mouvement totale du système. On remarquera que cette formule est exactement la même que pour une particule seule, à la seule différence qu'il faut prendre les données globales du système à la place des données particulières.

Il faut néanmoins noter que cette masse invariante globale n'est pas égale à la somme des masses invariantes des particules composant le système : en plus de ces masses individuelles, il faut ajouter la masse « apparente »   correspondant à l'énergie cinétique interne   du système ( , c'est-à-dire la somme des énergies cinétiques des particules dans le référentiel du centre de masse du système global ;  ) ainsi que la masse   correspondant à l'énergie d'interaction   entre les particules ( , c'est-à-dire la somme des énergies d'interaction pour chaque paire de particules du système ;  ). Les relations entre données individuelles (  et  ,   et  ,   et  ) et globales (  et  ,   et  ,   et  ,   et  ) sont donc :

 
 

et surtout, ce qui nous intéresse ici :

 

Avec les données usuelles (les   ou  , les   et les  ), on a :

 
 

Cas particulier 1 : particules sans interactionModifier

Si les interactions entre les particules sont nulles, ou si elles peuvent être négligées (c'est-à-dire que l'énergie d'interaction peut être négligée devant les énergies de masse et/ou cinétique interne), on a alors :

 
 
 

Cas particulier 2 : particules « presque immobiles »Modifier

Dans certains cas, l'énergie cinétique peut être négligée : cette approximation est valable dans le cas où l'énergie de masse et/ou l'énergie d'interaction sont grandes devant l'énergie cinétique interne des particules. Ce cas particulier est un cas d'école : c'est une approximation théorique qui en pratique n'existe pas. On a alors :

 
 
 

Cas particulier 3 : particules « presque immobiles » et sans interactionModifier

Ce cas est le cas extrême, combinaison des deux précédents, où l'énergie d'interaction et l'énergie cinétique interne sont toutes les deux négligeables devant l'énergie de masse du système. Dans ce cas, la masse propre du système global est simplement la somme des masses propres des particules composant le système :

 
 


Dans un autre système de coordonnéesModifier

Dans le cas d'un système de deux particules sans masse dont les impulsions sont séparées par un angle  , la masse invariante a pour expression simplifiée :

   
 
 


De même, en physique des collisionneurs, les grandeurs telles que la pseudorapidité   ou l'angle azimuthal  , associées à l'impulsion transverse  , sont souvent utilisées comme système de coordonnées dans les détecteurs. Dans l'hypothèse de particules sans masse ou relativistes (  ,) la masse invariante prend la forme :