Lemme de Nakayama

Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à Tadashi Nakayama (de), Goro Azumaya (de) et Wolfgang Krull.

Énoncés

Un énoncé général est le suivant :

Lemme de Nakayama (cas général) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini, I un idéal de A, et N un sous-A-module de M tel que $M\subset IM+N$. Alors il existe un élément a de I tel que $(1+a)M\subset N$.

La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme :

Lemme de Nakayama (cas particulier) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et I un idéal de A tel que $M\subset IM$. Alors il existe un élément a de I tel que $(1+a)M=0$.

Le corollaire suivant est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » :

Corollaire — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et R le radical de Jacobson de A. Si $M\subset RM$ alors $M=0$.

(En effet, pour tout élément a de R, 1 + a est inversible.)

Démonstrations

Cas particulier

Soit $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ une famille génératrice de M. Il existe des $y_{i,j}\in I$ tels que pour tout i, $x_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{i,j}x_{j}$. En notant Y la matrice des $y_{i,j}$ et d le déterminant de $I_{n}-Y$, on en déduit que dM=(0) (car tous les $dx_{j}$ sont nuls, d'après la formule de Laplace). Or (en développant le déterminant) d appartient à 1 + I. (On peut aussi invoquer le théorème de Cayley-Hamilton pour l'endomorphisme identité de M, de matrice Y dans X.)

Cas général

Le $A$-module $N'=M/N$ est de type fini et vérifie $N'\subset IN'$, il suffit alors d'appliquer le résultat précédent : il existe un élément $a\in I$ tel que $(1+a)N'=(1+a)M/N=0$ ce qui revient à $(1+a)M\subset N$.