Radical de Jacobson

Intersection des idéaux maximaux d'un anneau commutatif

En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A.

Dans le cas non commutatif, on définit le radical de Jacobson comme étant l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les 1 + ax sont inversibles à gauche[1]. C'est un idéal bilatère et on aurait pu définir de manière équivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les idéaux maximaux à droite[1].

Note et référenceModifier

  1. a et b (en) Tsit Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, coll. « GTM » (no 131), , 2e éd. (1re éd. 1991), 385 p. (ISBN 978-0-387-95183-6, lire en ligne), p. 50-51.

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