Largeur arborescente

En théorie des graphes et en informatique théorique, la largeur arborescente ou largeur d'arbre d'un graphe (treewidth en anglais) est un nombre qui, intuitivement, mesure s'il est proche d'un arbre[1]. Elle peut être définie de plusieurs manières[Lesquelles ?], notamment en utilisant la décomposition arborescente.

Souvent, un problème algorithmique facile sur les arbres est en fait facile pour les graphes qui ressemblent à des arbres. Ainsi, ce paramètre est souvent utilisé en algorithmique de graphes, notamment pour les schémas d'approximation polynomiaux et complexité paramétrée. Dans beaucoup d'applications, les graphes ont des largeurs arborescentes petites[réf. nécessaire], comme par exemple les réseaux sociaux.

DéfinitionModifier

Avec la décomposition arborescenteModifier

 
Exemple d'un graphe G et d'une décomposition arborescente de G.

Définition d'une décomposition arborescenteModifier

Informellement, étant donné un graphe non orienté  , une décomposition arborescente de   est un arbre   dont les nœuds sont annotés par des sous-ensembles de sommets de  , qui vérifient les conditions suivantes :

  • chaque sommet de   apparaît dans l'étiquette d'un nœud de   ;
  • pour toute arête   de  , il existe un nœud de   dont l'étiquette contient   et   ;
  • pour tout sommet   de  , les nœuds de l'arbre qui contiennent   forment un sous-arbre connexe de  .

Formellement, étant donné un graphe non orienté  , une décomposition arborescente de   est un couple    est un arbre, et   est une fonction associant à chaque nœud   de   un sous-ensemble  , qui vérifie les conditions suivantes :

  • Pour tout sommet  , il existe un nœud   de l'arbre   tel que  . Cette condition revient à imposer que l'union   soit égale à  .
  • Pour toute arête  , il existe un nœud   de   tel que  .
  • Pour tout sommet  , les nœuds   forment un sous-arbre connexe de  . Cette condition revient à imposer que, pour tous nœuds   et   de   qui contiennent un même sommet   (c'est-à-dire   et  ), tous les nœuds   de   sur l'unique chaîne simple entre   et   satisfont également  .

Tout graphe a au moins une décomposition arborescente, par exemple celle où l'arbre   a un seul sommet   et où  . Dans ce cas, tous les sommets et les arêtes du graphe sont couvertes dans  , et la condition sur les chemins est trivialement satisfaite. Cependant, cette décomposition n'est pas unique. Plus généralement, tout graphe   admet une infinité de décompositions arborescentes : on peut par exemple choisir n'importe quel arbre  , et définir   par   pour tout nœud  .

Définition de la largeur arborescenteModifier

La largeur arborescente d'une décomposition arborescente   est le cardinal de la plus grande étiquette moins un. Formellement, il s'agit de  . Dans l'exemple de la figure, toutes les étiquettes sont de cardinal 3, donc la largeur arborescente de cette décomposition arborescente est 2. La largeur arborescente (treewidth) d'un graphe G est le minimum de la largeur arborescente parmi toutes les décompositions arborescentes de ce graphe.

Si l'on considère une décomposition arborescente triviale où les nœuds sont étiquetés par l'ensemble   de tous les sommets du graphe, on constate que tout graphe avec   sommets a une largeur arborescente de   au plus. En revanche, si   est un arbre, si on construit   en suivant la structure de  , on peut obtenir une décomposition arborescente de   où chaque étiquette contient exactement deux éléments, donc de largeur 1.

Via les triangulationsModifier

Pour tout graphe  , on note   l'ordre de la plus grande clique de  . La largeur arborescente d'un graphe   est la plus petite valeur prise par  , parmi toutes les triangulations   de  .

ExemplesModifier

Les arbres ont largeur d'arbre 1. La clique de taille n a largeur d'arbre n-1. La grille carrée de taille n a une largeur d'arbre égale à n[2].

Aspects algorithmiquesModifier

Calcul de la largeur arborescenteModifier

Le calcul de la largeur arborescente est NP-difficile[3]. Néanmoins, si   est fixé, il existe un algorithme linéaire pour déterminer si la largeur arborescente d'un graphe est  . La dépendance en   du temps d'exécution de l'algorithme est cependant exponentielle. Pour certaines classes particulières de graphes, calculer la largeur arborescente se fait en temps polynomial (arbres, graphes triangulés, etc.).

Utilisations en algorithmiqueModifier

De nombreux problèmes de graphes NP-difficiles dans le cas général peuvent être résolus en temps polynomial si on se restreint aux graphes de largeur arborescente bornée. C'est donc un bon paramètre pour la complexité paramétrée. Si le problème est exprimable en logique monadique du second ordre, le théorème de Courcelle[4] énonce qu'il peut alors être résolu en temps linéaire (mais la constante est une tour d'exponentielles en   qui rend l'algorithme inapplicable en général).

Par exemple, le problème du stable maximum pour des graphes planaires peut-être résolu en temps polynomial pour une largeur arborescente bornée (on prend alors cette largeur comme une constante)[5], ce qui permet d'obtenir un schéma d'approximation en temps polynomial quand on ne contraint pas la largeur.

Liens avec les graphes triangulésModifier

Le concept de décomposition arborescente a un lien très fort avec les graphes triangulés. Premièrement, la largeur arborescente d'un graphe triangulé H est égale à la taille   de sa plus grande clique moins un. Deuxièmement, la valeur   peut être calculée à l'aide d'un algorithme linéaire si le graphe H est triangulé. Dans la littérature de recherche opérationnelle, les algorithmes de calcul de la largeur arborescente d'un graphe G cherchent souvent à déterminer le graphe triangulé H de plus petite valeur   qui contient G.

Paramètres de graphes associésModifier

La largeur arborescente peut-être reliée à d'autres paramètres de graphes, comme la dégénérescence.

Une variante pour les graphes orientés a été définie, elle vaut zéro sur les graphes orientés acycliques[6].

BibliographieModifier

OuvragesModifier

ArticlesModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) David P. Williamson et David B. Shmoys, Design of approximation algorithms, Cambridge University Press, , 500 p. (présentation en ligne, lire en ligne), chap. 10.2 (« The maximum independent set problem in planar graphs ») p. 272.
  2. Uli Wagner, « Graphs & Algorithms: Advanced Topics Treewidth ».
  3. Arnborg, Corneil et Proskurowski 1987.
  4. Bruno Courcelle, « The monadic second-order logic of graphs. I. Recognizable sets of finite graphs », Information and Computation, vol. 85, no 1,‎ , p. 12–75 (DOI 10.1016/0890-5401(90)90043-H, lire en ligne, consulté le 3 décembre 2017)
  5. David P. Williamson et David B. Shmoys, The Design of Approximation Algorithms, , p. 273.
  6. Thor Johnson, Neil Robertson, Paul D. Seymour et Robin Thomas, « Directed Tree-Width », J. Comb. Theory, Ser. B, vol. 8, no 1,‎ , p. 138-154 (DOI 10.1006/jctb.2000.2031).