Inégalités maximales de Doob

En mathématiques, les inégalités maximales de Doob sont un résultat de l'étude des processus stochastiques. Elles donnent une limite à la probabilité qu'une sous-martingale dépasse une valeur donnée sur un intervalle de temps donné.

Enoncé

Soit $M_{n}$ une martingale, $|M_{n}|$ est alors une sous-martingale positive. On se restreint désormais à ce cadre.

On note $M_{n}^{*}=\sup _{0\leq k\leq n}M_{k}$, l'inégalité maximale de Doob se formule :

$\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\mathbb {P} (M_{n}^{*}\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E[M_{n}]} }{a}}$

D'autres résultats peuvent être dérivés pour les variables $L^{p}$.

Démonstration

Soit $T$ le temps d'arrêt $\min\{k\in \mathbb {N} |M_{k}\geq a\}$

On décompose :

$\mathbb {E} [M_{T\land n}]=\mathbb {E} [\sum _{0\leq k\leq n}M_{k}\mathbb {1} _{T=k}+M_{T\land n}\mathbb {1} _{T>n}]\geq a\mathbb {P} [M_{n}^{*}>a]+\mathbb {E} [M_{T\land n}\mathbb {1} _{T>n}]$

Puis : $a\mathbb {P} [M_{n}^{*}>a]\leq \mathbb {E} [M_{T\land n}\mathbb {1} _{T\leq n}]=\mathbb {E} [M_{T\land n}]$

Le théorème d'arrêt de Doob appliqué aux temps d'arrêts $T\land n\leq n$ garantit $\mathbb {E} [M_{T\land n}]\leq \mathbb {E} [M_{n}]$

Finalement :

$\mathbb {P} [M_{n}^{*}>a]\leq {\frac {\mathbb {E} [M_{n}]}{a}}$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Doob's martingale inequality » (voir la liste des auteurs).