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Inégalité de Bessel

Inégalité d'algèbre bilinéaire

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Énoncé pour une famille finieModifier

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ces vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Énoncé pour une famille finie —  Soit (e1, … , en) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

 

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e1, … , en.

Généralisation à une famille quelconqueModifier

Le résultat précédent s'étend au cas où la famille (ei) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :

Énoncé dans le cas général —  Soit (ei) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

 

et l'ensemble des indices i tels que 〈ei, x〉 soit non nul est au plus dénombrable.

Cas d'égalité et unicité des coefficients de Fourier — En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par la famille, et dans ce cas x s'écrit de manière unique comme somme d'une famille de terme général λiei. La somme est la suivante :

 

Si la famille (ei) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :

 

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Liens externesModifier

BibliographieModifier