Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg

En mathématiques, l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg est une estimation portant sur les dérivées faibles d'une fonction donnée. Elle fait intervenir les normes $L^{p}$ de la fonction ainsi que ses dérivées. C'est un résultat particulièrement important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Cette inégalité a été proposée par Louis Nirenberg et Emilio Gagliardo^[1].

Énoncé^[2] modifier

Soient $u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction C^∞ à support compact, deux réels $1\leq q,r\leq \infty$ et un entier $m$ . Soient $\alpha$ un réel et $j$ un entier naturel tels que

{\frac {1}{p}}={\frac {j}{n}}+\left({\frac {1}{r}}-{\frac {m}{n}}\right)\alpha +{\frac {1-\alpha }{q}}

et

{\frac {j}{m}}\leq \alpha \leq 1.

Alors, il existe une constante $C$ dépendant de $m,\ n,\ j,\ q,\ r$ et $\alpha$ telle que

$\|\mathrm {D} ^{j}u\|_{L^{p}}\leq C\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}^{\alpha }\|u\|_{L^{q}}^{1-\alpha }.$

Note^[3] modifier

Pour une preuve de cette inégalité, voir^[4] théorème 9.3. La première condition sur $\alpha$ est l'homogénéité en $x$ . La seconde condition exprime qu'à homogénéité fixée, $j$ ne peut pas dépasser la valeur d'interpolation avec $\alpha$ , i.e. $j\leq \alpha \ m$ . Le cas limite interdit est $p=\infty$ lorsqu'il a la même homogénéité que $\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}$ , sauf si $r=1$ auquel cas le résultat est trivial (en intégrant $m-j$ fois).

Pour une extension au cas des exposants de dérivation non entiers, voir ^[5].

Conséquences modifier

Pour $\alpha =1$ , la norme $L^{q}$ de $u$ dans le membre de droite de l'inégalité ci-dessous n’apparaît plus. Dans ce cas on retrouve les injections de Sobolev.
Un autre cas spécial de l'inégalité d'interpolation de Gagliardo–Nirenberg est l'inégalité de Ladyzhenskaya (en), qui s'obtient pour $m=1,$ $j=0,$ $n=2$ ou $3,$ $q=r=2,$ et $p=4$ .

Références modifier

↑ (en) L. Nirenberg, « On elliptic partial differential equations », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 13, n^o 3,‎ 1959, p. 115–162.
↑ (en) Thierry Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, New York/Providence (R. I.), Courant Lecture Notes in Mathematics, vol 10, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, 323 p. (ISBN 0-8218-3399-5, lire en ligne), p. 9.
↑ Jean Ginibre, Introduction aux équations de Schrödinger non linéaires, cours de DEA 1994-1995, Orsay, Université de Paris-Sud, 1998, 147 p. (ISBN 978-2-87800-147-1 et 2-87800-147-8), p. 13
↑ (en) Avner Friedman, Partial differential equations, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, 2008, 262 p. (ISBN 978-0-486-46919-5 et 0-486-46919-0, lire en ligne), p. 24.
↑ (en) « Gagliardo–Nirenberg inequalities and non-inequalities: The full story », Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire, vol. 35, n^o 5,‎ 1^er août 2018, p. 1355–1376 (ISSN 0294-1449, DOI 10.1016/j.anihpc.2017.11.007, lire en ligne, consulté le 12 septembre 2021)

Voir aussi modifier

Bibliographie modifier

(en) L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010, 2nd edition
(en) Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation spaces, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, vol 3, Springer, 2007, 1st edition
(en) Robert A. Adams et John J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003, 2^e édition

Articles connexes modifier

Portail des mathématiques

[1] (en) L. Nirenberg, « On elliptic partial differential equations », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 13, n^o 3,‎ 1959, p. 115–162.

[2] (en) Thierry Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, New York/Providence (R. I.), Courant Lecture Notes in Mathematics, vol 10, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, 323 p. (ISBN 0-8218-3399-5, lire en ligne), p. 9.

[3] Jean Ginibre, Introduction aux équations de Schrödinger non linéaires, cours de DEA 1994-1995, Orsay, Université de Paris-Sud, 1998, 147 p. (ISBN 978-2-87800-147-1 et 2-87800-147-8), p. 13

[4] (en) Avner Friedman, Partial differential equations, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, 2008, 262 p. (ISBN 978-0-486-46919-5 et 0-486-46919-0, lire en ligne), p. 24.

[5] (en) « Gagliardo–Nirenberg inequalities and non-inequalities: The full story », Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire, vol. 35, n^o 5,‎ 1^er août 2018, p. 1355–1376 (ISSN 0294-1449, DOI 10.1016/j.anihpc.2017.11.007, lire en ligne, consulté le 12 septembre 2021)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]