Hiérarchie polynomiale

En théorie de la complexité, la hiérarchie polynomiale est une hiérarchie de classes de complexité qui étend la notion de classes P, NP, co-NP. La classe PH est l'union de toutes les classes de la hiérarchie polynomiale.

Représentation graphique de la hiérarchie polynomiale. Les flèches indiquent l'inclusion.

DéfinitionsModifier

Il existe plusieurs définitions équivalentes des classes de la hiérarchie polynomiale.

Comme alternance de quantificateursModifier

On peut définir la hiérarchie à l'aide des quantificateurs universel ( ) et existentiel ( ). Tout d'abord, pour tout polynôme  , et tout langage  , on définit

 ,

c'est-à-dire que l'ensemble   contient exactement l'ensemble des mots   pour lesquels il existe un mot   de taille polynomiale en la longueur de x tel que le mot  est dans  . Intuitivement, le mot   joue le rôle d'un certificat pour  , certificat relativement petit par rapport à  . De la même façon on définit

 .

On étend ces définitions aux classes de langages  

 
 

Maintenant, on peut définir les classes de la hiérarchie polynomiale par récurrence de la façon suivante :

 
 
 
 

En particulier,   et  .

Avec des machines à oraclesModifier

La hiérarchie polynomiale est également définissable à l'aide de machine de Turing avec oracle.   dénote la classe des problèmes pouvant être décidés par des machines de complexité   augmentées d'un oracle de complexité  .

On pose

 

Puis pour tout i ≥ 0 :

 
 
 

Avec des machines alternantesModifier

La hiérarchie polynomiale peut se définir à l'aide de machines de Turing alternantes.  est la classe des langages décidés par une machine de Turing alternante en temps polynomial, dans laquelle toute exécution est composée de i suites de configurations de même type (existentielles ou universelles), la première suite ne contenant que des configurations existentielles. La définition de  est similaire mais les configurations dans la première suite sont universelles.

Exemples de problèmesModifier

Savoir si une formule de la logique propositionnelle est minimale, c'est-à-dire s'il n'existe pas de formules plus courtes équivalentes, est un problème algorithmique dans  [1].

PropriétésModifier

Question autour de l'effondrementModifier

Une autre propriété importante, interne à la hiérarchie polynomiale, est la suivante :  , ce qui signifie que si à un niveau   deux classes sont égales, alors toutes les classes « au-dessus » sont égales. On parle alors d’« effondrement de la hiérarchie polynomiale au niveau   ».

On a l'inclusion : PH   PSPACE. L'égalité entre PH et PSPACE n'est pas connue. Mais l'égalité impliquerait que la hiérarchie polynomiale s'effondre.

En particulier, si  , alors  , c’est-à-dire   : la hiérarchie polynomiale s’effondre au niveau 1. On ne pense donc pas que la hiérarchie polynomiale s’effondre au niveau 1 (c’est la question P = NP).

Classes probabilistesModifier

Et on a le lien suivant avec la classe probabiliste BPP :  , c'est le théorème de Sipser–Gács–Lautemann. Les relations entre PH et la classe de complexité quantique BQP ont aussi été étudiées[2].

BibliographieModifier

Lien externeModifier

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Sipser, Introduction to computation theory
  2. (en) Scott Aaronson, « BQP and the polynomial hierarchy », dans STOC, , p. 141-150.