En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe pour lequel tout épimorphisme est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.

Formulations équivalentes

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Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses sous-groupes quotients propres. Par ailleurs, un groupe   est dit co-hopfien (en) si tout monomorphisme   est un isomorphisme.

Exemples de groupes hopfiens

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Exemples de groupes non hopfiens

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Indécidabilité

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En 1969, Donald J. Collins[2] a démontré qu'il est indécidable si un groupe, donné par une présentation finie, est hopfien. Contrairement à l'indécidabilité de beaucoup d'autres propriétés des groupes, ceci n’est pas une conséquence du théorème de Adian-Rabin (en); en effet, la propriété d'être hopfien n'est pas une propriété de Markov, comme démontré par Miller et Paul Schupp[3]

Notes et références

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Notes

  1. Julie Déserti, « Le groupe de Cremona est hopfien », Comptes Rendus Mathematique, vol. 344, no 3,‎ , p. 153–156 (ISSN 1631-073X, DOI 10.1016/j.crma.2006.12.005).
  2. Collins 1969
  3. Miller et Schupp 1971

Références

Liens externes

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