En géométrie symplectique, un symplectomorphisme est un isomorphisme de variétés symplectiques.

Définitions

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Soient   et   deux variétés symplectiques.

Une application différentiable   est appelée morphisme symplectique lorsque, pour tout  , la différentielle   est une isométrie linéaire entre espaces vectoriels symplectiques. Autrement dit :

 

Si  , comme   est non dégénérée, les différentielles   sont des isomorphismes linéaires, et de fait, par le théorème d'inversion locale,   est un difféomorphisme local.

Lorsque   est de plus un difféomorphisme (global),   est appelé un symplectomorphisme.

Exemples

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  • Les translations de   sont des symplectomorphismes.
  • Les difféomorphismes hamiltoniens sont des symplectomorphismes.

Remarque : si   est un revêtement et   une forme symplectique sur  , il existe une unique forme symplectique   sur   telle que   soit un morphisme symplectique.

Groupe des symplectomorphismes

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Le groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique  , noté  , dénote l'ensemble des symplectomorphismes ou difféomorphismes symplectiques de  , muni de la loi de composition.

Propriétés algébriques

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Le groupe des symplectomorphismes n'est pas un sous-groupe normal du groupe   des difféomorphismes de  .

Si f est un difféomorphisme de la variété M, la conjugaison par f envoie bijectivement les symplectomorphismes de   sur ceux de   :

 

En particulier, la conjugaison par un difféomorphisme f préserve le sous-groupe   si et seulement si f est un symplectomorphisme.

Topologie

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Dans le groupe   des difféomorphismes muni de la topologie  , le sous-groupe des symplectomorphismes est fermé. Accessoirement, le groupe des difféomorphismes peut en toute légitimité être vu comme un groupe de Lie de dimension infinie. Plus précisément, l'espace tangent en l'application identité est l'espace de Fréchet   des champs de vecteurs de classe   sur M.

Le groupe des symplectomorphismes est un sous-groupe fermé pour la topologie   du groupe des homéomorphismes de la variété M. Une preuve repose sur l'utilisation des capacités symplectiques.

Article connexe

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