Groupe de Carnot

Un groupe de Carnot est un groupe de Lie réel, nilpotent et stratifié. On peut considérer les groupes de Carnot comme des « espaces vectoriels non commutatifs » (les espaces vectoriels sont les seuls groupes de Carnot commutatifs). L'exemple le plus simple d'un groupe de Carnot non trivial est le groupe de Heisenberg.

Algèbre de Lie

Une algèbre de Lie ${\mathfrak {n}}$ est dite nilpotente s'il existe s tel que ${\mathfrak {n}}^{s+1}=\{0\}$, où ${\mathfrak {n}}^{i}$ est défini récursivement par ${\mathfrak {n}}^{i+1}=[{\mathfrak {n}},{\mathfrak {n}}^{i}]$ pour tout $i\geq 1$ et ${\mathfrak {n}}^{1}={\mathfrak {n}}$. On dispose donc d'une suite descendante ${\mathfrak {n}}={\mathfrak {n^{1}}}\supset \cdots \supset {\mathfrak {n^{s}}}\supset {\mathfrak {n^{s+1}}}=\{0\}$.

Cette algèbre de Lie est de plus stratifiée s'il existe un sous-espace $V$ tel que pour tout $i\geq 1$, on a ${\mathfrak {n}}^{i}={\mathfrak {n}}^{i+1}\oplus V^{i}$, où les $V^{i}$ sont définis par $V^{1}=V$ et $V^{i+1}=[V,V^{i}]$ pour $i\geq 1$. Ainsi, si $(X_{1},\dots ,X_{k})$ est une base de $V$, les vecteurs de la forme $[X_{i_{1}},[X_{i_{2}},[\ldots ,[X_{i_{l-1}},X_{i_{l}}]]]]$ engendrent l'algèbre entière (ici, $l\in \{1,\ldots ,s\}$ et $X_{i_{j}}$ est un des vecteurs de la base pour tout $j\in \{1,\ldots ,l\}$).

Les algèbres de Lie des groupes de Carnot possèdent une famille de dérivations particulières $D_{\lambda }$, appelées dilatations. Elles sont paramétrées par un scalaire $\lambda >0$ et définies de telle sorte que $V^{i}$ soit l'espace propre associé à la valeur propre $\lambda ^{i}$.

Groupe de Lie

Un groupe de Carnot est un groupe simplement connexe dont l'algèbre de Lie est telle que décrite précédemment. On peut identifier un groupe de Carnot à son algèbre de Lie en utilisant la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

Références

• (en) John Mitchell, « On Carnot-Carathéodory metrics », Journal of Differential Geometry, vol. 21, n^o  1, 1985, p. 35-45 [lire en ligne].
• Pierre Pansu, Géométrie du groupe d'Heisenberg, thèse de l'Université Paris VII, 1982, [lire en ligne]
• Pierre Pansu, « Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un », Annals of Mathematics, vol. 129, n^o  1, 1989, p. 1-60
• (en) Mikhael Gromov, « Carnot-Carathéodory spaces seen from within », dans André Bellaïche et Jean-Jacques Risler, Sub-Riemannian geometry, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 144), 1996 (ISBN 978-3-7643-5476-3, MR 1421821, lire en ligne), p. 79-323
• (en) Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), 2002, AMS (ISBN 0-8218-1391-9).
• (en) Gerald B. Folland (en) et Elias M. Stein, Hardy spaces on Homogeneous groups.
• (en) A. Bonfiglioli, E. Lanconelli et F. Ugguzzoni, Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians.
• (en) Le Donne Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, [lire en ligne]