Formule genre-degré

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En géométrie algébrique, la formule genre - degré est une équation reliant le degré d d'une courbe plane irréductible $C$ avec son genre arithmétique g par la formule :

g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).

Ici « courbe plane » signifie que $C$ est une courbe fermée dans le plan projectif $\mathbb {P} ^{2}$ . Si la courbe est non singulière, le genre géométrique et le genre arithmétique sont égaux, mais si la courbe est singulière, avec seulement des singularités ordinaires, le genre géométrique a priori est plus petit. Plus précisément, une singularité ordinaire de multiplicité r diminue le genre de ${\frac {1}{2}}r(r-1)$ ^[1].

Généralisation modifier

Pour une hypersurface non singulière $H$ de degré d dans le plan projectif $\mathbb {P} ^{n}$ de genre arithmétique g la formule devient :

g={\binom {d-1}{n}},\,

où ${\tbinom {d-1}{n}}$ est le coefficient binomial.

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Genus–degree formula » (voir la liste des auteurs).

↑ John Greenlees Semple et Leonard Roth, Introduction to Algebraic Geometry, 1985, 53–54 p. (ISBN 0-19-853363-2, MR 0814690)

Articles connexes modifier

Conjecture de Thom (en)

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[1] John Greenlees Semple et Leonard Roth, Introduction to Algebraic Geometry, 1985, 53–54 p. (ISBN 0-19-853363-2, MR 0814690)

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