Formule des probabilités composées

formule mathématique

En mathématiques, la formule des probabilités composées (ou formule des probabilités conditionnelles en cascade) permet de calculer la probabilité d’une intersection d’évènements (non nécessairement indépendants) à l’aide de probabilités conditionnelles.

Soient $A_{1},\dots ,A_{n}$ des évènements dont l’intersection est de probabilité non nulle^[1].
On a $\mathbf {P} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\mathbf {P} (A_{1})\times \mathbf {P} (A_{2}|A_{1})\times \mathbf {P} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\times \cdots \times \mathbf {P} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})$ .

Ce résultat se démontre directement par récurrence. Il justifie le calcul des probabilités à l’aide d’un arbre de probabilité.

La formule des probabilités composées est notamment utilisée dans le cadre de processus stochastiques discrets.

Voir aussi modifier

Formule des probabilités totales

Notes et références modifier

↑ Plus généralement, la formule est valable dès lors que les probabilités conditionnelles ont un sens, c’est-à-dire si l’intersection des $n -1$ premiers évènements $A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1}$ est de probabilité non nulle. Si la probabilité de l’intersection des $n$ évènements est nulle, alors la dernière probabilité conditionnelle aussi donc l’égalité se réduit simplement à $0 = 0$ .

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