Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel

Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann qu'il permet d'aborder directement. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes, les dérivées partielles (par rapport à ou ) et la différentiabilité au sens réel.

On considère une fonction d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe . On utilisera les notations suivantes :

  • la variable complexe sera notée , où x, y sont réels ;
  • les parties réelle et imaginaire de seront notées respectivement et , c'est-à-dire : , où sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexeModifier

Dérivées partielles par rapport à x et yModifier

Définition  : soit  , où   sont réels.

  • on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point   par rapport à la variable x, notée   si la limite (finie)   existe
  • on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point   par rapport à la variable y, notée   si la limite (finie)   existe

Propriété :

  • la dérivée partielle   existe si et seulement si les dérivées partielles  ,   existent, et alors  
  • la dérivée partielle   existe si et seulement si les dérivées partielles  ,   existent, et alors  

Dérivées partielles d'ordre supérieur :

  • si, par exemple,   existe en tout point  , on définit la fonction  
  • si, de plus, la fonction   admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point   par rapport à la variable x, on la note   :  . De manière analogue, si   existe, on la note  , etc.

Dérivées partielles par rapport à   et  Modifier

Définition  : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point  . Alors, on définit :

  •  
  •  

Propriété : en conservant les hypothèses précédentes

  •  
  •  

Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexeModifier

On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou  -différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction  -linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.

Plus précisément, cela veut dire que  , en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.

  • Définition  : on dit qu'une application   est  -linéaire si :  .
    • (alors :  )
  • Définition  : on dit que la fonction   est  -différentiable en un point   s'il existe une application  -linéaire   et une fonction   d'une variable complexe telles que   lorsque   et   (en supposant que  , où r est le rayon d'une boule ouverte telle que  ).
    • Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle  -différentielle ou différentielle de   en   et on la note habituellement  .
    • On dit que   est  -différentiable sur U si elle est  -différentiable en tout point de U.
  • Propriété : si   est  -différentiable en un point  , alors :
    • elle est continue en   ;
    • elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en  , et  ,  .

Démonstration :

  • continuité :   lorsque   parce que   (la  -différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et  .
  • existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
    • pour tout u réel tel que  ,   ; donc, si  ,   lorsque   : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction   en   par rapport à  , et la relation  
    • pour tout v réel tel que  ,   ; donc, si  ,   lorsque   : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction   en   par rapport à  , et la relation  .
  • Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de  -différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
    • Soit  . Si   admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à   et  ) en tout point d'un voisinage de  , et si  ,   (ou  ,  ) sont continues en  , alors   est  -différentiable en  
    • En particulier, si   admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à   et  ) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction   est  -différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que   est  -continûment différentiable sur U, ou de classe   sur U.

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Voir aussiModifier

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