Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2

En géostatistique, une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 (abrégée en FASt-2) est une fonction aléatoire Z sur un espace S telle que :

  • sa moyenne est constante : Ex[Z(x)] = m
  • sa covariance est invariante par translation, fonction du seul vecteur distance h entre les deux points : Cov[Z(x),Z(x+h)]=C(h)

Le processus est dit centré si sa moyenne est nulle en tout point

.

Les espérance et variance d'une combinaison linéaire s'expriment simplement :

PropriétésModifier

 

  • Usuellement, la covariance tend vers 0 à l'infini.
  • En corollaire, la variance de Z est constante : Var[Z(x)] = C(0).
  • On définit le corrélogramme ρ(h) = C(h)C(0), coefficient de corrélation entre Z(x) et Z(x+h).
  • Une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 est également intrinsèque.
  • ∀ h, C(h)≤C(0)
  • La propriété est conservée par linéarité : soit A: ℝd→ℝd linéaire, le champ image ZA=(ZA i,i ∈ S est stationnaire de covariance CA(xi)=C(A xi), et CA est définie positive si C l'est et si A est de rang plein.
  • Si C est continue à l'origine, elle est uniformément continue partout.
  • Si Ci sont des covariances stationnaires, ai ≥ 0, alors :
    • La somme finie iCi (i ∈ ⟦1;n) est une covariance stationnaire
    • Le produit fini iCi (i ∈ ⟦1;n) est une covariance stationnaire
    • La limite limi→∞Ci(h) est une covariance stationnaire si la limite existe pour tout h
  • Si Cu, uU⊆ℝk sont des covariances stationnaires, μ une mesure positive sur k telle que Cμ(h)=∫UCu(h) μ(du) existe pour tout h, alors Cμ est une covariance stationnaire.

Champ stationnaire au second ordre sur dModifier

Soit X un champ réel sur d, centré et stationnaire au second ordre. On le suppose connu sur Dn = ⟦1 ; nd. Prenons la covariance empirique à une distance k ∈ ℤd :   Les effets de bords augmentent avec d : la proportion de points au bord de Dn est en dn. L'effet de bord est sans conséquence sur le biais asymptotique sur , il est significatif sur 2 et dominant sur d, d ≥ 3. Pour éliminer ce biais et conserver une covariance empirique semi-définie positive, on procède au rabotage de données, par un rabot w : [0 ; 1]→[0 ; 1], C2, croissant, w(0) = 0, w(1) = 1.


Voir aussiModifier