Fonction K

généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes

En mathématiques, la fonction K est une généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes, similaire à la généralisation de la factorielle à la fonction gamma.

Définitions et propriétés

modifier

Formellement, la fonction K est définie comme

 

Ou encore

 

  est la fonction dérivée de la fonction zêta de Riemann,   représente la fonction zêta de Hurwitz définie par

 

Une autre expression utilisant la fonction polygamma est[1]

 

Ou la fonction polygamma équilibrée (en)[2]:

 
où A est la constante de Glaisher-Kinkelin.

On peut montrer que pour tout  :

 


Preuve : Pour cela, on pose   définie par :  . Après dérivation par rapport à  :

 .

Soit, par définition de la fonction K :  . Donc  .

En spécialisant en  , on obtient  , d'où l'identité annoncée.

Lien à la fonction gamma

modifier

La fonction K est étroitement liée à la fonction gamma et à la fonction G ; pour tout entier naturel n, on a

 

Car K prolonge l'hyperfactorielle sur les naturels :

 

Les premières valeurs sont

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000... (suite A002109 de l'OEIS).

Références

modifier
  1. Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
  2. (en) Olivier Espinosa et Victor H. Moll, « A Generalized polygamma function », Integral Transforms and Special Functions, vol. 15, no 2,‎ , p. 101–115 (lire en ligne)

Liens externes

modifier