Factorion

Un factorion est un entier naturel qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres. Par exemple, 145 est un factorion en écriture décimale car .

En écriture décimale, il n'y a que quatre factorions, ce sont 1, 2, 145 et 40585, soit la suite A014080 de l'OEIS.

On peut démontrer qu'en base b, un factorion de n chiffres ne peut pas dépasser . Un factorion est donc toujours compris entre bn–1 et n (b – 1)!.

En base 10 par exemple, comme 107 est plus grand que 8×9!, et que cette inégalité est vraie aussi pour tout n supérieur ou égal à 8, un factorion est toujours inférieur à 107.

Liste des factorionsModifier

Ce tableau donne la liste des factorions pour différentes bases arithmétiques.

Base Nombre maximum de chiffres Factorions
2 2 1, 10
3 2 1, 2
4 3 1, 2, 13
5 3 1, 2, 144
6 4 1, 2, 41, 42
7 5 1, 2
8 5 1, 2
9 6 1, 2, 62 558
10 7 1, 2, 145, 40 585
11 8 1, 2, 24, 44, 28 453
12 8 1, 2
13 9 1, 2, 83790C5B
14 10 1, 2, 8B0DD409C
15 11 1, 2, 661, 662
16 11 1, 2, 260F3B66BF9

GénéralisationModifier

Clifford A. Pickover[1] a introduit les généralisations suivantes :

  • Les factorions du second type, qui sont les nombres égaux au produit des factorielles de leur chiffres.
  • Les factorions du troisième type, qui peuvent être compris à partir d'un exemple. Si l'on considère le factorion du troisième type abcdef, alors abcdef = (ab)! + c! + d! + (ef)!.

Ces deux généralisations produisent un nombre beaucoup plus important de solutions et l'on ignore encore si leur nombre de solutions est fini.

En base 10, les deux factorions du deuxième type inférieurs à 10100 sont 1 et 2, car 1! = 1 et 2! = 2.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Factorion » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, John Wiley & Sons, 1995, chap. 22 : « The Loneliness of the Factorions ».

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • (en) George D.Poole, « Integers and the Sum of the Factorials of Their Digits », Mathematics Magazine, vol.44, 1971, p. 278-279
  • (en) Martin Gadner, Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American, New York, Vintage, 1978, chap. 4 : « Factorial Oddities »
  • (en) Joseph S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, New York, Dover, 1979, p. 167.
  • (en) Eric W. Weisstein, « Factorion », CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC 1999.

Liens externesModifier