Estimation spectrale
L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la densité spectrale de puissance (DSP).
Estimations paramétriquesModifier
Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories :
- Modèles autorégressif (AR)
- Modèles à moyenne ajustée (MA)
- Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA).
L'approche paramétrique se décompose en trois étapes :
- Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.
- Estimer les paramètres du modèle à partir de données disponibles.
- Estimer le spectre à partir des paramètres du modèle.
Estimation spectrale à l'aide d'un modèle ARModifier
Un processus autorégressif est semblable à la fonction de transfert d'un filtre à réponse impulsionnelle infinie, en ce sens où la sortie dépend de ses états précédents.
Estimation spectrale à l'aide d'un modèle MAModifier
Estimation spectrale à l'aide d'un modèle ARMAModifier
Estimation classiques ou non-paramétriquesModifier
Ces méthodes d'estimation spectrale dites classiques ou non-paramétriques sont toutes basées sur le périodogramme, voici le raisonnement qui mène à celui-ci. En considérant un processus discret x(n) aléatoire stationnaire du second ordre, on écrit sa fonction d'autocorrélation :
D'après le théorème de Wiener-Khintchine, la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de l'autocorrélation :
Estimer la densité spectrale de puissance revient à estimer l'autocorrélation du signal. De manière rigoureuse, l'autocorrélation s'écrit :
En pratique, obtenir un signal sur une durée infinie et l'acquérir sans bruit est impossible. Ainsi, on calcule l'autocorrélation sur un intervalle connu :
En prenant la transformée de Fourier de cette approximation, on obtient le périodogramme :
Le périodogrammeModifier
Le périodogramme permet une estimation simple de la densité spectrale de puissance en prenant le carré de la transformée de Fourier. Il a été introduit par Arthur Schuster en 1898.
N représente le nombre d'échantillons fixés
ω représente la fréquence et varie
Biais du périodogrammeModifier
Le périodogramme est un estimateur biaisé de la densité spectrale de puissance.
L’espérance de l'estimation de l'autocorrélation se note :
Variance du périodogrammeModifier
Le périodogramme modifiéModifier
Une première modification apportée au périodogramme permet de supprimer le biais asymptotiquement.
Méthode de BartlettModifier
La méthode de Bartlett ou périodogramme moyenné modifié introduit une moyenne statistique.
Méthode de WelchModifier
La méthode de Welch améliore celle de Bartlett en introduisant une segmentation du signal, un fenêtrage et la possibilité d'ajouter un recouvrement.
Méthode de Blackman-TukeyModifier
Méthode de CaponModifier
Voir méthode SVD
Notes et référencesModifier
(en) Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J., Prentice Hall, (ISBN 0-13-754920-2)