Estimation spectrale

L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la densité spectrale de puissance (DSP).

Estimations paramétriquesModifier

Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories :

  • Modèles autorégressif (AR)
  • Modèles à moyenne ajustée (MA)
  • Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA).

L'approche paramétrique se décompose en trois étapes :

  1. Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.
  2. Estimer les paramètres du modèle à partir de données disponibles.
  3. Estimer le spectre à partir des paramètres du modèle.

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle ARModifier

Un processus autorégressif est semblable à la fonction de transfert d'un filtre à réponse impulsionnelle infinie, en ce sens où la sortie dépend de ses états précédents.

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle MAModifier

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle ARMAModifier

Estimation classiques ou non-paramétriquesModifier

Ces méthodes d'estimation spectrale dites classiques ou non-paramétriques sont toutes basées sur le périodogramme, voici le raisonnement qui mène à celui-ci. En considérant un processus discret x(n) aléatoire stationnaire du second ordre, on écrit sa fonction d'autocorrélation :

 

D'après le théorème de Wiener-Khintchine, la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de l'autocorrélation :

 

Estimer la densité spectrale de puissance revient à estimer l'autocorrélation du signal. De manière rigoureuse, l'autocorrélation s'écrit :

 

En pratique, obtenir un signal sur une durée infinie et l'acquérir sans bruit est impossible. Ainsi, on calcule l'autocorrélation sur un intervalle connu :

 

En prenant la transformée de Fourier de cette approximation, on obtient le périodogramme :

 

Le périodogrammeModifier

Le périodogramme permet une estimation simple de la densité spectrale de puissance en prenant le carré de la transformée de Fourier. Il a été introduit par Arthur Schuster en 1898.

 

N représente le nombre d'échantillons fixés

ω représente la fréquence et varie

Biais du périodogrammeModifier

Le périodogramme est un estimateur biaisé de la densité spectrale de puissance.

Variance du périodogrammeModifier

Le périodogramme modifiéModifier

Une première modification apportée au périodogramme permet de supprimer le biais asymptotiquement.

Méthode de BartlettModifier

La méthode de Bartlett ou périodogramme moyenné modifié introduit une moyenne statistique.

Méthode de WelchModifier

La méthode de Welch améliore celle de Bartlett en introduisant une segmentation du signal, un fenêtrage et la possibilité d'ajouter un recouvrement.

Méthode de Blackman-TukeyModifier

Méthode de CaponModifier

Voir méthode SVD

Notes et référencesModifier

(en) Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J., Prentice Hall, (ISBN 0-13-754920-2)