Discussion:Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie

Justification de la création de l'article

Cgolds émet l'idée que les démonstrations associées à cet article ne doivent pas être insérées n'importe où De toute façon, cela ne semble pas le bon endroit pour une preuve. Elles sont dont retirées de l'article boule et se trouvent dans espace euclidien. Salle et Vivarés émettent la même idée, l'emplacement n'est pas pertinent.

Après une tentative à mon avis maladroite de ma part de l'inclure dans l'article espace vectoriel normé, je pense que ce sujet mérite un article en lui-même. Jean-Luc W (d) 16 décembre 2007 à 12:01 (CET)

Pourquoi séparer cet article du cas général ?

Le cas général est un article de synthèse résumant l'essentiel des propriétés de ce vaste sujet. Ses qualités résident dans la concision et la généralité.

Y inclure le contenu de cet article abime la concision et limite la généralité (ici n'est traité que le cas de R et C). De plus, le contenu développé dans l'article est suffisant pour un article à part entière.

D'autres articles doivent être créés sur le même modèle pour couvrir le cas des espaces réflexifs, Banach, Hilbert, Préhilbertien etc... Il n'est pas envisageable, pour une question de taille de tout inclure dans un unique article. Jean-Luc W (d) 16 décembre 2007 à 12:01 (CET)

OK pour moi. Il y a tout de même à mon avis quelques risques liés à ce genre de pages, je liste ce qui me passe par la tête : 1) vouloir à tout prix faire de toute page un article complet, typiquement, avec historique, etc. : si c'est pour recopier des historiques bien faits ailleurs en les tordant jusqu'à ce qu'ils rentrent dans le sujet, ça ne vaut pas le coup. 2) tomber dans la leçon d'agreg : ce n'est pas ce qu'on veut faire. Ces deux points étant posés, il ne faut à mon sens pas craindre d'aboutir à un article qui ne soit pas plus long qu'un ou deux écrans, tant que ce qu'on a à dire vraiment sur le sujet n'est pas plus long.

Après cette poussée moralisatrice, je répète ce que j'ai dit ailleurs : à mon avis, la continuité des applications linéaires vient en premier. Ensuite l'équivalence des normes, et, concernant cet énoncé, on doit pouvoir aboutir à une caractérisation de la dimension finie par l'équivalence des normes, et la compacité de la boule unité, et cela me semble plus satisfaisant de le regrouper. Salle (d) 17 décembre 2007 à 09:38 (CET)

Oh, sage Salle : j'ai un souci. Penses-tu qu'il faille montrer la continuité des applications linéaires pour toutes les normes dans l'ensemble d'arrivée ou pour une norme particulière ? Dans les deux cas, tu divises en deux une démonstration (par exemple si on le montre pour toutes les normes, on montre qu'une norme quelconque est majorée par la norme du sup, première partie de la démonstration de l'équivalence des normes). En soit, cela ne me semble pas bien grave mais qu'y gagne-t-on ? Pour ton aboutissement, je reconnais qu'il est plus élégant et comme il faut de toute manière remanier l'article pour aussi y insérer les résultats de la non équivalence des normes si les dimensions sont différentes (théorème de la boule ouverte de Brouwer) et l'unicité de la topologie qui rende continue + et . Il faut donc repenser un plan plutôt que de partir sur une logique conçue pour un autre contexte. Si tu as une idée pertinente, ton aide est la bienvenue. Sinon je vais te soumettre quelque chose avant de le rédiger. Tu as moins le "nez dans le guidon" que moi sur le sujet.Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 10:12 (CET)

autre proposition de titre

Je verrais mieux quelque chose comme "topologie des espaces vectoriels de dimension finie". Ca élargit un peu les thèmes à traiter (unicité de la structure d'evt, à signaler à la fin), mais le titre me semblerait plus naturel. Peps (d) 17 décembre 2007 à 12:01 (CET)

Jeu du labyrinthe

Un gentil lecteur est perdu dans le labyrinthe suivant, quelqu'un pourrait-il mettre de l'ordre pour retrouver le chemin de fer de l'article ? Ici E est un evn de dim finie et F un evt :

• Toutes les normes sont équivalentes
• Il existe une unique topologie séparable rendant + et . continus
• E est uniformément homéomorphe à kⁿ
• La boule fermée est compacte
• Les compacts sont les fermés bornés
• Les sev sont fermés
• L(E,F) est composé d'applications continues k lipschitzienne (reste presque vrai pour les applications multilinéaires)
• L(F,E) est complet
• E est complet
• Kⁿ n'est pas homéomorphe à K^p (théorème de la boule ouverte)
• La régularité d'une fonction à valeur dans E est équivalente à la régularité des coordonnées
• ça marche aussi bien avec un corps valué complet.

Une fois le lecteur délabyrinthé, le titre apparaitra de lui-même.Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 12:27 (CET)

Je ne me mouille pas avant d'avoir consulté un bouquin :). Si vous n'avez pas trouvé la sortie d'ici là, j'essaierai de proposer une solution. Salle (d) 17 décembre 2007 à 15:06 (CET)

Il est rappelé que l'usage : de produit psychotrope, de divination ou d'information livresque est licite. En revanche, une unique méthode parmi les trois est vivement conseillée par votre humble serviteur. Le nom de la substance illicite, les coordonnées du mage et la ou les références livresques sont appréciés selon les nouvelles normes WP. Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 15:26 (CET)

Tant pis je me mouille un peu... voici un ordre "topology first" qui me semble être celui suivi par les cours de spé quand on y faisait de la topo (je fais de mémoire, sans trop réfléchir)

1. identification des compacts de R
2. identification des compacts de R^p, muni de la topo produit
3. les normes sont équivalentes
4. la plupart des prop en découlent simplement (choix de la norme infinie relativement à une base)
5. restent : le thm de la boule ouverte, les evt, l'extension à un corps valué... pour lesquels faudrait réfléchir (sans paquet de copies :( ) Peps (d) 17 décembre 2007 à 18:47 (CET)

Après vérif de mes propres cours de spé (pour moi, en tant qu'étudiant :)), j'arrive à quelque chose de globalement pareil : Bolzano-Weierstrass dans R, et après, on chope ce qu'on veut en dimension supérieure en premier (continuité des AL, les compacts, équivalence des normes, la boule est compacte), de toute manière, c'est à peu près équivalent. Salle (d) 18 décembre 2007 à 09:39 (CET)

Allons y, cela donnerait ?

1. identification des compacts de R
2. identification des compacts de R^p, muni de la topo produit
3. les normes sont équivalentes
4. la plupart des prop en découlent

• Les sev sont fermés
• E est complet
• L(E,F) est composé d'applications continues k lipschitzienne (reste presque vrai pour les applications multilinéaires)
• L(F,E) est complet
• La régularité d'une fonction à valeur dans E est équivalente à la régularité des coordonnées

1. point de vue topologique :

• E est uniformément homéomorphe à kⁿ
• Il existe une unique topologie séparable rendant + et . continus
• Kⁿ n'est pas homéomorphe à K^p (théorème de la boule ouverte)

1. ça marche sur les corps valués complets.

Jean-Luc W (d) 18 décembre 2007 à 10:03 (CET)

En conclusion, on commence par de la topo et on finit par de la topo, le titre pepsien semble gagnant, à décider en fin d'article. Jean-Luc W (d) 19 décembre 2007 à 19:07 (CET)

Conclusion sur le premier jet

Voilà le premier jet terminé. Je compte maintenant laisser reposer. Trois constats s'impose :

• Le choix de traiter par un nouvel article le cas de la dimension finie est justifié. L'article est trois fois plus long que espace vectoriel normé ou espace vectoriel topologique car la simplicité de la configuration permet d'aller dans les détails.
• L'axe topologique est justifié. Les outils topologiques sont majoritaires dans l'article.
• Pour aller plus loin, des articles connexes sont nécessaires, particulièrement sur le travail de Brouwer. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2007 à 11:17 (CET)

Doute sur la validité de cet article

C'est moi où tout ce qui se dit dans cet article n'est valable que pour un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ ($\mathbb {H}$ aussi peut-être). Ca a l'air d'être en filigrane dans tout l'article mais pas clairement dit (par exemple ce n'est pas dans le titre). Noky (d) 8 janvier 2008 à 20:33 (CET)

Fine remarque, d'un lecteur attentif. Dans un premier temps est indiqué : Le corps sous-jacent à l'espace vectoriel E est noté K, il désigne soit R soit C le corps des nombres complexes. En fin d'article plus précisément à partir du paragraphe topologie, les démonstrations montent un peu en gamme et un paragraphe précise : Les démonstrations sont valables si le corps est complet et valué, il cite deux exemples les quaternions et le corps des fractions rationnelles (attention ce n'est pas le petit corps des nombres rationnelles mais le gros dont les éléments sont des quotients de polynômes formelles sur R ou C). En pratique les théoriciens des nombres en connaissent d'autres avec des valuations p-adiques. On précise que pour que l'intégralité des propositions établies soit vraie, il faut aussi que le corps soit localement compact (avec le corps des fractions rationnelles la boule unité perd sa compacité). Je n'ai pas voulu rentrer dans ces subtils détails en début d'article. Pour l'immense majorité des lecteurs le cas réel ou complexe est central. Je n'ai pas voulu passer sous silence le fait que les résultats sont parfois présenté avec les hypothèses de corps valué complet localement compact d'où mes remarques finales. J'ai donc trois questions :

• Quels éléments mets tu en doutes ?

En fait c'est principalement le titre que je mets en doute. Car je ne m'attendais pas à priori à tomber sur les espaces vectoriels à corps complet etc. De plus l'introduction laisse à penser que les topologies des evt viennent d'une norme. Mais il y en a d'autres, telles que celles de Zariski etc. Je trouve que l'on devrait renommer cet article. Noky (d) 9 janvier 2008 à 09:18 (CET)

• Trouves tu justifié le choix de traiter dans un premier temps R et C puis uniquement en fin d'article les corps valués complets localement compacts ?

Non ça c'est sûrement très bien.Noky (d) 9 janvier 2008 à 09:18 (CET)

• Trouves tu les sources insuffisantes par endroit et si oui où ?

Les sources je m'en fous.Noky (d) 9 janvier 2008 à 09:18 (CET)

Merci de ta relecture. Jean-Luc W (d) 8 janvier 2008 à 21:13 (CET)

Rajout du théorème de Riez

Apparemment pas très connu, il est pourtant bien pratique, je pense qu'il faut le mettre, il a sa place. Cependant, je ne sais plus si la réciproque est vraie !

L'ajout est maintenant effectué. Jean-Luc W (d) 10 novembre 2008 à 08:24 (CET)

Unicité : un "os" dans dans la preuve

Dans "tout e.v.t. séparé de dim n est homéomorphe à Kⁿ", au début de la seconde partie de la preuve(passage de p à p+1, preuve que G_p est fermé), je crois que les deux affirmations successives suivantes sont injustifiées : "[...]il existe une suite (v_j) de G_p convergeant vers v. La suite ψ_p(v_j) est de Cauchy[...]". Je sais qu'on peut les remplacer par des arguments plus (trop !) savants, mais (pour rester lisibles par le plus grand nombre) je suis plutôt tentée de remplacer la preuve actuelle par celle ci-dessous. Mais le "hic" c'est que pour rester cohérents il faudrait alors au minimum, dans le paragraphe suivant "Cas d'un corps valué complet" remplacer au début "La démonstration précédente" par "Il existe une autre démonstration blabla". Qu'en pensez-vous ?

Soit φ un isomorphisme de Kⁿ dans E. L'application φ est continue, par continuité des deux opérations de E (l'addition et le produit par un scalaire). Il reste à montrer que sa réciproque est continue. Il suffit pour cela (par linéarité de φ et par continuité des deux opérations sur E et sur Kⁿ) de montrer que l'image par φ de la boule unité ouverte B de Kⁿ est un voisinage du vecteur nul de E.

Notons S la sphère unité (compacte) de Kⁿ. Son image φ(S) est compacte et ne contient pas le vecteur nul, donc le complémentaire W de cette image est un ouvert contenant le vecteur nul.

Une propriété générale à tous les espaces vectoriels topologiques est utilisée ensuite :

é: Soit W un ouvert de E contenant le vecteur nul. Alors W contient un ouvert $\Omega$ de E contenant le vecteur nul et équilibré, c'est-à-dire tel que :

$\forall x\in \Omega \;\forall \lambda \in \mathbb {K} \quad |\lambda |\leq 1\Rightarrow \lambda \cdot x\in \Omega$

Cette propriété est démontrée dans l'article espace vectoriel topologique.

Montrons que $\varphi ^{-1}(\Omega )\subset B$ : pour tout vecteur non nul $x\in K^{n}$ tel que $\varphi (x)\in \Omega$, comme le vecteur ${\frac {1}{\|x\|}}\varphi (x)$ n'appartient pas à $\Omega$ (puisqu'il appartient à $\varphi (S)$), on a ${\frac {1}{\|x\|}}>1$ (puisque $\Omega$ est équilibré), donc $\|x\|<1$.

De $\varphi ^{-1}(\Omega )\subset B$ on déduit la propriété souhaitée : $\varphi (B)$ est bien un voisinage du vecteur 0, puisqu'il contient un ouvert $\Omega$ contenant 0.

Anne Bauval (d) 9 novembre 2009 à 12:52 (CET)

Critique

Bonjour,

La version du 9 novembre 2009 comportait de nombreux non-sens, contre-sens, et autres imprécisions. J'ai procédé à une élimination de quelques-unes. J'espère à ne pas avoir à les détailler une par une. Je mentionne seulement que les espaces vectoriels réels de dimension finie $>1$ possèdent non pas une mais plusieurs topologies compatibles (une quantité non dénombrable), pouvant occasionnellement servir. À plusieurs reprises, l'article oubliait l'adjectif séparée ce qui est une grave faute. [1] A été retirée la démonstration sur laquelle portaient les critiques de Anne Bauval. La preuve en dimension 1 était inutilement compliquée, la récurrence n'était pas nécessaire, et l'incrémentation comportait un passage discutable mentionné ci-dessus par Anne Bauval. Selon le sens donné à l'expression "suite de Cauchy" (espaces métriques ou espaces uniformisants ?), la formulation est au pire erronnée, au mieux maladroite, et, dans les deux cas, induit en erreur le lecteur qui découvre les premières notions de topologie. La première phrase de la démonstration était elle-même fausse : la définition d'une métrique euclidienne dépend du choix d'une base (qu'on décrète orthonormée).

Mes interventions sur cet article se sont limitées à de la cosmétique. L'essentiel reste à faire, et l'article est à réorganiser pour ne pas dire à réécrire. J'ai hésité à retirer toutes les démonstrations et j'émets ici deux de mes réserves :

• Toutes les normes d’un espace de dimension finie sont équivalentes etc etc etc L'argument repose sur l'existence d'un homéomorphisme entre la sphère unité de E pour la norme N et la sphère unité de Rn pour la norme infinie. Jean-Luc W (d · c · b) pourrait-il nous expliquer comment il construit cet homéomorphisme ? Il me semble que l'existence d'un homéomorphisme entre les sphères unités de deux normes est équivalente à ce que les normes soient Lipschitz-équivalentes.
• L'application f est continue si et seulement si toutes les applications etc etc L'argument semble contenu dans une phrase nominale incompréhensible.

Dans le paragraphe sur les corps valués, quelle valuation met-on sur le corps Q ? Est-elle complète ? La complétude est-elle nécessaire ?

[2] J'ai supprimé le paragraphe Motivations. Cette dissertation, confuse et hasardeuse, n'apportait aucune information. Au risque de me répeter, l'ensemble de l'article est décevant. Ensemble d'une grande confusion, trop de phrases évasives, des imprécisions, des passages douteux (voir explications plus haut), et une organisation mal réfléchie qui ne met pas en valeur les résultats. Sans parler des passages qui tombent comme un cheveu dans la soupe, comme l'exemple de l'application à la fusion nucléaire, sans rapport avec le sujet de l'article.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 10 novembre 2009 à 16:40 (CET)

Plaidoyer pour une réhabilitation

Bonjour,

C'était la première fois depuis que je contribue (toujours en maths, discrètement, et j'espère avec délicatesse) que je faisais appel (voir plus haut) à la "communauté" pour m'aider à résoudre un dilemne dans un choix d'amélioration. Je ne prévoyais pas qu'il déclencherait une telle salve de suppressions massives (qui sont bien plus que de la "cosmétique") et de dénigrements.

• Cet article était certes perfectible, mais ne mérite probablement pas le bandeau infâmant "article à recycler", qui risque d'inciter des contributeurs peu scrupuleux à en détruire le plan, fruit (au vu des sections précédentes dans cette page de discussion) d'une création réfléchie et concertée par plusieurs contributeurs compétents. A la rigueur, le paragraphe "Motivations" bénéficierait peut-être d'un bandeau "Rédaction", mais je pense qu'il faut rétablir ce paragraphe, quitte à l'améliorer petit à petit : il introduit le plan, fournit les liens internes pertinents, et toutes les précisions requises sont apportées au fur et à mesure dans l'article. Un peu d'ouverture en fin d'article (corps valués complets, domaines d'applications inattendus du théorème de la boule chevelue) me semble plutôt bénéfique que ridicule.
• L'adjectif "séparé" : j'avais déjà remarqué en effet ce petit oubli dans un énoncé (mais pas dans la preuve correspondante) et je l'avais rajouté. Si ça a été oublié encore ailleurs, on y remédiera facilement.
• Les démonstrations peuvent certainement encore être améliorées, plutôt que supprimées
  • tout e.v.t. séparé de dim n est homéomorphe à Kⁿ : ma question du 9 novembre (voir plus haut) reste ouverte. Il faut décider collectivement si
    • on maintient (en reformulant la première phrase pour la rendre compréhensible, et en rectifiant la maladresse que je signalais dans la preuve que tout sev de dim finie d'un evt séparé est fermé) l'intention initiale (preuve de Bourbaki pour K un corps valué complet non nécessairement localement compact, par récurrence, et avec inévitables subtilités dans le cas n=1), ou si
    • on met juste Bourbaki en référence pour ce cas plus général, et si on remplace par ma proposition (preuve plus simple pour K localement compact)
  • Toutes les normes d’un espace de dimension finie sont équivalentes : la preuve me semblait limpide (et je n'y avais pas touché). Mais je crois avoir compris ce qui gênait Nefbor Udofix. Je vais tâcher d'y remédier sans trop de verbiage (pour que ça ne perturbe pas d'autres lecteurs).
  • L'application f est continue si et seulement si toutes ses composantes le sont : là aussi je suis volontaire pour améliorer encore, sauf que là je ne vois pas ce qui chiffonne Nefbor Udofix.

Pacifiquement et constructivement vôtre, Anne Bauval (d) 11 novembre 2009 à 16:16 (CET)

Bonjour,

Contribuant actuellement sur l'algèbre linéaire, je relis les différents articles que WP possède sur le sujet (ici, algèbre linéaire réelle). Les modifications mentionnées plus haut ont été réalisées sans tenir compte de ton premier message sur cette page de discussion. Elles ne sont donc pas la conséquence de tes premiers commentaires (cf. d'ailleurs les historiques).

Le bandeau {{à rédiger}} indique une section incomplète ou une section vide, ce qui est réellement insultant pour les auteurs, s'il est apposé par autrui, comme tu le suggères. Au contraire, le bandeau {{à recycler}} n'a en théorie rien d'infamant, d'insultant, ni de diffamatoire. Il indique que l'article a beaucoup de contenu, contient beaucoup d'informations, mais que l'organisation laisse à désirer. Lire Wikipédia:Recyclage pour plus d'informations. Les compétences des auteurs ne sont évidemment pas remises en cause.

Désolé si je me montre parfois sec. Tenons nous au fait : les contributeurs qui sont intervenus plus haut ont beaucoup de connaissances, certes, mais le résultat n'est pas à leur hauteur, ils ont bien mieux ailleurs. Ensuite, couper est une solution de facilité, quand on n'a pas le temps de reformuler. Le texte peut être récupéré depuis l'historique de l'article.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 13 novembre 2009 à 08:47 (CET)

PS : Une partie Motivations peut être un plus ou un moins en fonction de son contenu. Voici une liste de phrases à éviter

La configuration topologique d'un espace vectoriel E est relativement simple (Non-sens, voire affirmation incorrecte)

Elle correspond à de nombreux égards à celle du corps des nombres réels (Non, dimension topologique ?)

elle est la structure de prédilection de la branche des mathématiques nommée géométrie différentielle. (sens ?)

une topologie quelconque n'est pas utilisable (Contre-sens ou non-sens)

Elle doit nécessairement être compatible avec les spécificités de l'espace vectoriel (Termes incorrects, puis pas forcément, but recherché ?)

Surtout, le paragraphe ne donnait aucune motivation et juxtaposait seulement les résultats. Tant qu'on ne traite pas de la dimension infinie, les normes et leur équivalence se suffisent à elles-mêmes. L'unicité d'une topologie séparée compatible en dimension finie importe réellement car elle permet de comprendre la topologie induite sur les sous-espaces finiment engendrés d'espaces vectoriels topologiques séparés. Cela est utilisé par exemple, en analyse fonctionnelle ou dans des domaines qui s'y rattachent. Mentionner des applications en géométrie différentielle n'est pas absurde, encore faut-il le faire à bon escient. A réfléchir. Nefbor Udofix  -  Poukram! 13 novembre 2009 à 08:47 (CET)

Bonjour à tous deux (et aux autres lecteurs éventuels de cette discussion).

Il est un peu stérile d'apposer ou de chercher à interpréter des bandeaux se résumant à une injonction que personne ne suit. Si Anne Bauval s'est engagée dans une réécriture en profondeur de cet article (et ce sera valable pour tous les autres contributeurs et tous les autres articles), je lui conseille soit de travailler sur une sous-page personnelle comme « Utilisateur:Anne Bauval/Brouillon », soit d'apposer un bandeau {{En cours}} ou {{En travaux}} (je ne suis pas bien sûr de saisir la différence) pour signaler qu'elle souhaite se réserver temporairement les modifications de l'article pour lui laisser le temps de la réorganisation.

Bien évidemment, il serait pour le moins correct que Nefbor Udofix (ou n'importe quel autre contributeur ne souhaitant pas être qualifié de vandale) laisse travailler les contributeurs engagés dans une telle restructuration d'envergure, signalant au besoin un désaccord en page de discussion si la réécriture lui semble vraiment faire fausse route. Ambigraphe, le 13 novembre 2009 à 11:22 (CET)

Encore une fois, je suis intervenu sur cet article le 10, sans me rendre compte qu'une autre personne avait déjà porté un jugement la veille. Merci à Anne de prendre en charge cet article. Je me garderais bien de tout conseil de restructuration, un article est toujours mieux rédigé quand il est écrit d'un seul clavier. Nefbor Udofix  -  Poukram! 13 novembre 2009 à 13:07 (CET)

PS pour Ambi : un vandale est un individu, souvent sous IP, qui introduit des insultes dans le corps de l'article ou blanchit un article. Ici, il y avait seulement un léger désaccord, moins sur le fond que sur la forme, mais qui prend des proportions démesurées, comme toujours entre passionnés. Les phrases supprimées, qui ne sont pas d'Anne, peuvent toujours être récupérées depuis l'historique. Nefbor Udofix  -  Poukram! 13 novembre 2009 à 13:07 (CET)