Discussion:Théorèmes de Dini

• L'importance de la topologie de l'ensemble de départ est réelle pour le premier Théorème de Dini, mais moins pour le deuxième Théorème de Dini, valable uniquement sur $\mathbb {R}$. Par ailleurs il est faux de dire qu'on a besoin d'une topologie sur l'ensemble de départ pour définir la convergence uniforme. Pour la convergence simple des fonctions on a simplement besoin d'une topologie sur l'espace d'arrivée et pour la convergence uniforme des fonctions on aura besoin que l'espace d'arrivée de ces fonctions soit un espace uniforme (d'après la terminologie du Bourbaki de Topologie Chapitre 2, on dirait plutôt uniformisable qu'uniformisant ??). Si l'on cherche moins la généralité, on demandera que l'espace d'arrivée de ces fonctions soit un espace métrique.--Chassaing Avril 2008 (CEST)

Généralisation du deuxième théorème de Dini ?

Bonjour, l'article indique ceci: "Généralisation : la conclusion et la démonstration sont inchangées si l'on permet à [a, b] d'être un intervalle de ℝ au lieu de ℝ, c'est-à-dire si l'on autorise a = –∞ et b = +∞." Or, il me semblait que la compacité de l'ensemble de définition des fonctions est indispensable pour sa démonstration. Qu'en est-il vraiment ?Rhodan21 (discuter) 21 mai 2014 à 11:26

Réponse : la généralisation est fausse telle qu'elle est écrite.

Contre exemple : considérons la suite de fonctions f_n(x)=x/n, sur R, l'ensemble des réels. Chaque f_n est croissante (pour n fixé), la suite f_n converge simplement, sur R, vers 0, et la fonction limite , la fonction nulle, est bien continue sur R. D'après la généralisation que vous questionnez à juste titre, on devrait avoir convergence uniforme de f_n vers 0, ce qui est bien-sûr faux.

Donc je supprime cette généralisation (qui serait peut-être vraie avec des hypothèses supplémentaires, mais fausse telle qu'elle est écrite pour le moment dans la version du 13/12/2014).

--31.39.233.46 (discuter) 13 août 2014 à 18:33

La question n'avait pas de sens et la phrase incriminée était mal transcrite. Le « contre-exemple » n'en est pas un car R n'est pas de la forme [a, b]. La généralisation telle qu'elle était écrite est juste et utilisée juste après, donc je la rétablis. Anne, 19 h 20

Aujourd'hui, une IP avait remplacé cette généralisation par :

« Remarque : l'énoncé ne se généralise pas au cas de fonctions définies sur un intervalle quelconque, comme le montre l'exemple de la suite de fonctions f:x->arctan(x-n). »

Pour la même raison que le précédent, ce « contre-exemple » n'en est pas un. Anne, 30/6/16