Discussion:Théorème du point fixe de Brouwer

Sources

Il existe des preuves plus classiques de ce théorème (cette preuve est tirée d'un concours pour les prépas maths et utilise donc des moyens élémentaires de topologie non algébrique, je crois qu'il existe des preuves en topologie algébrique qui doivent être plus élégantes...), je pense que si quelqu'un en connaît une, il devrait la placer en tête. Philippe% 23 décembre 2005 à 13:36 (CET)

Il y a dans Proofs from the Book une très élégante preuve élémentaire faisant appel à la combinatoire et à la théorie des graphes, due à Emanuel Sperner, elle mérite d'être mise en avant. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 86.193.111.101 (discuter)

Je signale aussi (je ne l'ai pas consultée) la référence : Gale, D. "The Game of Hex and the Brouwer Fixed-Point Theorem." Amer. Math. Monthly 86, 818-827, 1979 (que je connais par [1]). Il est possible de déduire le théorème de Brouwer du fait qu'il y a forcément un gagnant au jeu de Hex (truc qui se montre lui-même par un petit argument combinatoire sur les graphes planaires), tiens c'est d'ailleurs mentionné dans l'article en anglais en:Hex (board game) ; ce peut être signalé dans l'article quand il sera plus étoffé dans son état actuel ça arriverait comme un cheveu dans la soupe. Touriste ✉ 28 mars 2008 à 19:54 (CET)

Questions

Deux petites question:

• En quelle année ce théorème a-t-il est proposé? quelle est la référence, le livre, l'article?
• La référence à l'école normale supérieure est-elle très utile? mmh la réponse est dans la question... EtudiantEco (d) 22 août 2008 à 01:17 (CEST)

Réponses

Je crois que les remarques sont à peu près traitées. Une démarche qui se fonde sur la géométrie algébrique est maintenant disponible. Le cas général impose l'usage de groupes d'homologie. Pour l'instant, WP est trop pauvre sur cette question, à mon goût, pour qu'un traitement fasse sens. Un lecteur curieux a tout intérêt à lire une des références sur le sujet. L'approche par le lemme de Sperner est évidemment passionnante, mais une fois encore WP est pour l'instant trop pauvre et ne peut rivaliser avec un bon site sur cette question. L'approche par le jeu de Hex est maintenant proposée, l'article m'a semblé suffisamment riche pour se le permettre. Je l'ai mis en premier car c'est la démonstration la plus simple.

Quelques démonstrations importantes du théorème, dont les premières sont maintenant indiquées et sourcées. J'ai laissé l'information sur le concours d'entrée aux Écoles normales de 1998, mais je l'ai mise en note. Jean-Luc W (d) 21 mars 2009 à 12:43 (CET)

Taille et commentaires pour les images

Quand j'illustre un article, je vérifie la cohérence de la présentation pour les écrans allant de 800x600 à 1600x1200 (ce que je n'ai pas encore fait mais compte faire ce week-end). Pour des raisons de cohérence graphique, les images n'ont pas toutes la même taille. Certaines sont larges et d'autres non.

Les commentaires d'un document illustré, comme une photo, sont indispensables. Comme souvent en mathématiques, les commentaires des représentations graphiques sont à l'intérieur même du paragraphe. Elles sont un support à la compréhension du paragraphe et à ce titre sont commentées dans le paragraphe. Elles ne nécessitent pas de commentaire séparé (à l'image des bon textes de mathématiques).

Attention, l'ajout d'un commentaire trop long décale la figure et la place dans le paragraphe suivant. Ce défaut de mise en page empêche une compréhension aisée du texte. Jean-Luc W (d) 27 mars 2009 à 16:11 (CET)

PS : J'ai retiré les thumbs car dans la configuration 1200x1600, elles génèrent des chevauchements (il reste encore à vérifier l'absence de contre indication pour les différentes configurations possibles, ce que je ferais un peu plus tard). Jean-Luc W (d) 27 mars 2009 à 16:28 (CET)

Quelques remarques à relecture

« Dans les années 1930, l'analysis situs devient la topologie algébrique. » -> me semble un peu discutable au pifomètre ; j'avais déjà un peu tiqué dans l'intro (« théorème du point fixe de Brouwer est un résultat de topologie algébrique »). Pas mal de sources (web) notamment MathWorld donnent plutôt une équivalence plus large "Analysis Situs = Topologie". N'as-tu (ô auteur principal) pas une vision un peu trop extensive de la "topologie algébrique" ? Après tout l'énoncé de Brouwer ne repose sur aucun outil algébrique, et en revanche _certaines_ preuves (mais pas toutes) utilisent des concepts qui se rattachent indéniablement à la topologie algébrique. Alors le théorème de Brouwer comme exemple de fruit de la topologie algébrique, OK sans aucun doute ; mais comme théorème de topologie algébrique il faudrait un peu plus de lien à des sources pour tout à fait me convaincre.

« le fait que toute application continue de la sphère de dimension deux dans elle même possède un point fixe » puis plus loin « Brouwer avait déjà remarqué qu'une application d'une sphère de dimension n dans elle même possède un point fixe ». Il manque manifestement une hypothèse (en plus de la continuité, sous-entendue au second énoncé), cf. l'antipodie. Je ne reconstitue pas à quel énoncé tu fais allusion, donc te laisse corriger toi-même.

Peut-être serait-il davantage souhaitable, dans l'intro de la partie "Démonstrations" de séparer plus nettement lesquelles marchent en toute dimension et lesquelles concernent la seule dimension 2.

La dernière partie (« Convexe compact d'un espace euclidien ») me semble complètement hors sujet ici. Le théorème qu'elle démontre est cité dans l'article Ensemble convexe et il me semblerait bien suffisant de s'y référer ; le démontrer quelque part dans Wikipédia est sans doute souhaitable mais ici ça me semble très déraisonnable. (Du coup je prône l'ablation de cette partie que je n'ai pas relue, éventuellement recyclée comme démarrage d'un article détaillé à l'état d'ébauche développant la section « Description à homéomorphisme près en dimension finie » de Ensemble convexe ). Touriste (d) 11 avril 2009 à 21:15 (CEST)

Merci pour ton aide. Je regarde les sources, je réfléchis à comment intégrer au mieux tes remarques. Je ferais cela probablement lundi.Jean-Luc W (d) 12 avril 2009 à 00:07 (CEST) Voilà, j'ai traité l'essentiel des remarques. Jean-Luc W (d) 14 avril 2009 à 22:03 (CEST)

Encore des remarques

"En théorie des jeux, John Nash utilise ce théorème pour prouver qu'au jeu de Hex, il existe une stratégie telle que les blancs jouent et gagnent" Je crois qu'il y a une confusion. La preuve de l'existence d'une stratégie gagnante à Hex est astucieuse mais élémentaire (voir l'article wikipedia sur Hex) : pas de lien avec Brouwer. Il y a un lien avec l'absence de partie nulle, mais je doute que Nash ait vraiment utilisé le théorème de Brouwer pour montrer ça. "Si Brouwer préfère des preuves fondées sur une démonstration constructive, ironiquement, celles à l'origine de ses grands théorèmes de topologie ne le sont pas[28] et il faut attendre 1967 pour en trouver." Ici aussi, ça ne va pas : A ma connaissance, il n'y a pas de preuve constructive du théorème de Brouwer. Il y a des preuves constructives du fait qu'il y a, pour tout epsilon, un point qui est bougé de moins de epsilon. Par exemple, la preuve de Sperner fournit ça ; elle est constructive ; elle date probablement d'avant 1967.

Sur le 1er point, je crois qu'il faut complètement supprimer cette affirmation : entièrement d'accord avec ce que tu dis ; de plus, comment D. Gale se permettrait-il d'écrire, bien plus tard, dans son article (sur la réciproque), que son collègue J. Stallings lui a montré comment déduire Hex de "familiar topological facts which are equivalent to the Brouwer Theorem", si c'était la preuve originelle de son copain Nash et non pas (comme je le comprends) une remarque amusante ?

Sur le 2e point, il faut en effet au moins la préciser, l'algorithme de Scarf cité en note 29 (et basé sur Sperner) ne calcule qu'un "point fixe approché".

Alors vas-y ! Anne Bauval (d) 13 février 2011 à 02:55 (CET)

La source que Frédéric Chardard (d · c · b) (merci à lui !) vient d'ajouter confirme que Nash a utilisé ce théorème dans l'une de ses preuves de son équilibre, mais ne confirme pas la phrase « John Nash utilise le théorème en théorie des jeux pour démontrer l'existence d'une stratégie gagnante » que j'avais, le 10/3/11, supprimé dans la légende d'une image, et encore moins que Nash ait utilisé ça pour Hex. J'ai quand même remis, grâce à cette source, la légende antérieure de l'image, en la rectifiant en : « John Nash utilise le théorème en théorie des jeux pour démontrer l'existence d'un équilibre ». Anne (d) 21 mars 2012 à 21:00 (CET)

Autre preuve?

Ne serait-ce pas utile de proposer également une preuve en utilisant le théorème de la valeur intermédiaire ?

Soit $a<b$ et $f:[a,b]\to \Re$ une fonction continue. Si $f([a\,b])\subset [a,b]$, alors f a au moins un point fixe dans $[a,b]$.

Démonstration: Considérons la fonction $g:[a\,b]\to \Re$ définie par $g(x)=x-f(x)$. Bien évidemment g est continue sur $[a\,b]$. De plus

$g(a)g(b)=\underbrace {(a-f(a))} _{\leq 0}\underbrace {(b-f(b))} _{\geq 0}\leq 0$.

Ainsi, par le théorème de la valeur intermédiaire, il existe c tel que $g(c)=0$. D'où c est un point fixe de f.

Preuve tirée du polycopié du cours du Professeur J. Rappaz de l'EPFL.

--Frosmo (d) 5 janvier 2012 à 22:01 (CET)

Elle y est déjà, dans la section « Dimension un ». Anne Bauval (d) 5 janvier 2012 à 22:47 (CET)

Théorème du point fixe de Brouwer#Dimension finie

Y a-t-il une source pour ce § ? et qu'apporte-t-il de plus, à part la fausse impression d'une récurrence sur la dimension ? Anne (discuter) 15 octobre 2013 à 13:19 (CEST)

hypothèses

l'hypothèse de convexité est-elle strictement nécessaire ? J'ai l'impression en regardant la preuve topologique qu'il suffit que le compact considéré soit simplement connexe... --Aigle Sin Moo (discuter) 8 décembre 2017 à 15:05

L'application x ↦ –x de la sphère Sⁿ dans elle-même est sans point fixe et pour n ≥ 2, Sⁿ est simplement connexe. Anne, 21 h 40

Par la formule de Stokes

Il y a un détail qui m'échappe dans la démonstration via la formule de Stokes. Pourquoi sur la dernière ligne $d\omega =0$ ? D'après ce que je comprends, on attribue cela au fait que $\omega$ est une forme de volume et donc de degré maximum.

Qu'est-ce qui m'empêche de faire directement ceci : $0<\int _{S}\omega =\int _{B}d\omega =0?$ Quel est exactement le rôle de la fonction $F$ pour que ça fonctionne ?

À mon avis c'est dû quelque part à l'injection canonique qui est dans l'énoncé du théorème de Stokes mais qui n'est pas introduite ici... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Laurent.Claessens (discuter), le 3 janvier 2021 à 11:10 (CET)

Laurent.Claessens (discuter) 3 janvier 2021 à 11:10

Anne, 18 h 39