Wikipédia:Lumière sur/Théorème du point fixe de Brouwer
Ce « Lumière sur » a été ou sera publié sur la page d'accueil de l'encyclopédie le mercredi 29 juillet 2009.
En mathématiques, le théorème du point fixe de Brouwer est un résultat de topologie algébrique. Il fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, qui énoncent que si une fonction continue f vérifie certaines propriétés, alors il existe un point x0 tel que f(x0) = x0. La forme la plus simple du théorème de Brouwer prend comme hypothèse que la fonction est définie dans un disque D et à valeurs dans D. Sous une forme plus générale, la fonction est définie dans un convexe compact K d’un espace euclidien et à valeurs dans K.
Si, parmi les centaines de théorèmes de point fixe, celui de Brouwer est particulièrement célèbre, c’est en partie parce qu’il est utilisé dans de nombreuses branches mathématiques. Dans sa branche d’origine, ce résultat est l’un des théorèmes clés caractérisant la topologie d’un espace euclidien, comme le théorème de Jordan, celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam. À ce titre, il est un des théorèmes fondamentaux de la topologie algébrique. Ce théorème intervient aussi pour établir des résultats fins sur les équations différentielles ; il est présent dans les cours élémentaires de géométrie différentielle. Il apparaît dans des branches plus inattendues, comme la théorie des jeux, où John Nash l’utilise pour montrer l’existence d’une stratégie gagnante pour le jeu de Hex…