Discussion:Théorème des nombres premiers

Précision (2006)

bonjour,

petite précision: Gauss ne revendique sa découverte d'une conjecture sur les nombres premiers qui daterait de 1792 ou 1793 qu'en 1849 dans une correspondance avec Encke. La conjecture de Legendre est elle publiée au plus tard en 1808 dans l'essai sur la théorie des nombres. Pourriez vous me préciser ce qui vous fait dater cette découverte de 1796 ? La première édition ? Merci. De mon côté j'essaie de mettre la main sur la correspondance avec Encke. Claudeh5 19 juin 2006 à 22:51 (CEST)

Approximation

Il aurait été, à mon avis, bien plus subtil de comparer π(x)-Li(x) avec π(x)-x/(ln(x)-1).Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 18 juillet 2013 à 13:27 (CEST)

Mais pas bien dur :

$x/(\ln x-1)=x/\ln x+x/(\ln x)^{2}+x/(\ln x)^{3}+o(x/(\ln x)^{3})$,

$Li(x)=x/\ln x+x/(\ln x)^{2}+2x/(\ln x)^{3}+o(x/(\ln x)^{3})$,

et enfin (si l'hypothèse de Riemann est vraie) $\pi (x)=Li(x)+O({\sqrt {x}}\ln x)$...--Dfeldmann (d) 18 juillet 2013 à 22:35 (CEST)

Bonjour. Manifestement je me suis mal fait comprendre. Je parle du tableau numérique, pas du développement limité de Li(x) ni de l'hypothèse de Riemann ! Il me semble que, compte tenu du théorème de Tchebycheff qui montre que l'on a la valeur 1 pour le nombre de Legendre, l'approximation x/ln(x) n'est pas moins compliquée à calculer que x/(ln(x)-1) mais bien moins bonne.Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 18 juillet 2013 à 23:16 (CEST)

Tout à fait, et comme le montrent les DA ci-dessus, l'erreur dans le premier cas est en x/(ln x)^2, et dans le second cas en x/(ln x)^3. Seulement, le calcul de bonnes valeurs de Li (x) n'est pas vraiment plus difficile et donne un résultat bien plus précis, et c'est sans doute pourquoi le DA de pi(x) sur l'échelle des fonctions élémentaires (en x/ln (x)*somme (k!/(ln(x)^k)) ) n'est jamais mentionné dans les livres...--Dfeldmann (d) 18 juillet 2013 à 23:32 (CEST)

Problème extrémal de Landau

Message transféré de la pdd de Anne et réponse en suivant

Bonjour Anne, J'ai une objection concernant ta modification récente de la section "Histoire" du Théorème des nombres premiers. Il s'agit précisément du morceau de phrase:

"...pour une certaine constante V, que Landau (en 1909), puis bien d'autres, ont travaillé réduire. On sait depuis 1990 que V = 34,5036 convient". La constante V mesure une propriété extrémale (minimale) d'une certaine classe de polynômes trigonométriques. Sa meilleure connaissance a permis à Landau d'améliorer la taille de la constante dans l'estimation O de La Vallée Poussin qu'on connaissait à l'époque pour le TNP. Comme l'indique l'auteur de deux articles que tu cites (Révész), le problème d'estimer V est un sujet de recherche intéressant en soi, indépendamment de son application à l'estimation de Landau. Mais il me semble que cette application est devenue purement anecdotique depuis qu'on dispose de l'estimation de Vinogradov-Korobov-Richert qui est bien meilleure, et qui implique en particulier qu'on peut remplacer V par un nombre aussi petit qu'on veut dans celle de LVP (alors que de toute façon on sait que V>34!). Révész semble d'ailleurs en être parfaitement conscient puisqu'il défend (mollement) cette application ainsi:

"...but for practical applications, in particular for computational number theory, the theoretically better asymptotic results all have a defect with respect to the O-constant (and/or the validity range x > x0). Thus Landau’s method is still interesting for practical applications...".

A mon avis ça n'est vraiment pas convaincant, puisqu'une estimation de type O, non explicite, n'a de toute façon aucune utilité pour des estimations explicites si l'on ne dispose pas d'informations supplémentaires.

Bon, bref, ce que je veux dire c'est que cette précision sur les efforts entrepris pour diminuer V dans l'estimation de LVP peut semer la confusion dans l'esprit d'un lecteur qui lit juste après l'estimation bien meilleure de VKR: il faudrait soit la supprimer, soit renvoyer à un article (à créer...) sur le problème extrémal de Landau (mais pas par moi, je ne suis pas spécialiste des polynômes trigonométriques!). Cordialement, Sapphorain (discuter) 17 août 2013 à 02:18 (CEST)

Bonjour à toi et aux autres spécialistes, modifiez vous-même au mieux svp, car la « confusion que je risque d'avoir semée dans l'esprit du lecteur » était déjà dans le mien, quand j'ai trouvé et synthétisé ce Révész. Je n'y connaissais strictement rien avant et guère plus maintenant. J'avais juste voulu, en juillet, faire un sort à la formule non sourcée

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {\sqrt {\ln(x)}}{15}}\right)\right)$

dans Fonction de compte des nombres premiers, que je trouvais bizarre. Pour info, voici son archéologie :

• En 2002, ajout dans en:Prime number theorem
• En 2005, copie dans en:Prime-counting function (où elle figure encore, avec un refnec depuis mars 2012)
• En 2006, traduction dans Fonction de compte des nombres premiers
• Le 17/7/2013, sourçage dans Fonction de compte des nombres premiers par MathWorld, puis (inspirée par cette amélioration dans Prime number theorem en 2005) ajout dans Théorème des nombres premiers d'une formule plus précise et mieux sourcée et effacement dans Fonction de compte des nombres premiers.

Cordialement, Anne (discuter) 17 août 2013 à 10:24 (CEST)

Fonction O de Landau

Il me semble qu'une fonction qui utilise une approximation avec un O de Landau fait en sorte que ça détruit tout le travail fait avec la fonction d'origine.

La fonction de Gauss ou de Riemann avec un O de Landau n'a plus vraiment de sens puisque l'on admet du même coup que la fonction d'origine n'est jamais complète en soi.

Désolé, votre message n'est pas clair. La fonction pi n'a pas d'expression exacte ( voir Formules pour les nombres premiers). Du coup, on est déjà bien content de pouvoir la remplacer par une fonction simple, en précisant que l'erreur n'est pas trop grande...--Dfeldmann (discuter) 19 août 2013 à 20:59 (CEST)

Somme des puissances des premiers

J'ai enlevé la référence (ou plutôt l'absence de référence!) à Weyl, qui me semble très douteuse. En cherchant sur MathSciNet, Zentralblatt et le Jahrbuch, je n'ai pas trouvé. Et comme en fait c'est un résultat quasiment trivial, je doute fort que Weyl se soit donné la peine de le rédiger (ailleurs que dans un cours ou sur une nappe de bistro).( Je mentionne que Landau a traité le cas 1 dans son manuel de théorie des nombres). Le résultat cité était de plus incomplet (vrai pour tout exposant >-1, et pas seulement >0) et prêtant à confusion (k suggère "entier", alors que l'équivalence est vraie pour tout réel >-1).Sapphorain (discuter) 25 octobre 2013 à 14:30 (CEST)

Énoncé et article détaillé

Bonjour,

je trouve un peu bizarre d'avoir un article détaillé au niveau de la section énoncé. Que pensez-vous d'une section définitions avant l'énoncé pour résoudre cela ? (Je veux bien que quelqu'un d'autre s'y colle, j'ai peur d'écrire des bêtises.)--Roll-Morton (discuter) 5 mars 2014 à 14:34 (CET)

Oui, c'était bizarre. Mais j'ai remplacé par article connexe, ça devrait suffire, non? Pour les définitions, c'est plus raisonnable de renvoyer à nombre premier (mais je vois pas trop de mise en page satisfaisante...)--Dfeldmann (discuter) 5 mars 2014 à 15:01 (CET)

Énoncé ~ = !

Bonjour. Excusez moi, je ne suis pas mathématicien mais pourquoi dans l Énoncé du théorème des nombres premiers le signe ~ se transforme en = ? Merci Antoine Lavoisier. Cordialement. Thomas.

Non, c'est normal : par définition, f~g si lim f/g = 1 ,--Dfeldmann (discuter) 25 juin 2017 à 13:55 (CEST)

Moi non plus je ne suis pas mathématicien, mais la lim de f/g =1 est un peu illusoire si on considère que la valeur de x/ln(x) va constamment s'écarter de pi(x) (tout en lui étant proportionnelle ou équivalente?) en se fiant aux tables de nombres premiers connus.

Donc la limite pi(x)/ (x/ln(x)) = 1 n'est pas réalisable. Non? 70.83.118.252 (discuter) 22 avril 2022 à 16:58 (CEST)

Non (et cela montre bien que dans des cas de ce genre, rien ne peut remplacer les définitions rigoureuses des mathématiciens ...) Par exemple, et bien que les deux fonctions s'écartent là aussi l'une de l'autre, les fonctions x^2+x et x¨2 sont équivalentes, c'est-à-dire que leur rapport (qui vaut 1+1/x) n'est jamais égal à 1, mais est d'autant plus proche de 1 que x est plus grand (ce n'est pas exactement la définition de la limite, mais c'est suffisant pour donner une idée de ce qui est en jeu).--Dfeldmann (discuter) 22 avril 2022 à 18:25 (CEST)

La question de fond demeure pourquoi une approximation équivalente si l'égalité existe! Gas843 (discuter) 26 avril 2022 à 16:37 (CEST)

Eh bien parce que l’égalité = dans l'écriture lim_{x-->∞} f(x)/g(x) =1, où un passage à la limite a été effectué, n’apporte aucune information supplémentaire à l’approximation ~ dans l'écriture f(x)/g(x)~1, où ce passage à la limite n’est pas (encore) effectué. Et dans la pratique, il est malcommode de s'imposer l'utilisation de l'écriture lourde des limites pour l'avantage illusoire d'un signe = ... --Sapphorain (discuter) 26 avril 2022 à 17:45 (CEST)