Discussion:Théorème des accroissements finis

Commentaires sur la version imagée du théorème

Si un véhicule parcourt 120 km en 2 h, son compteur a indiqué au moins une fois la vitesse précise de 60 km/h. »

Ah oui ? Et si la voiture a un accident des les premiers cent metres, et qu'elle est transportee par une depanneuse a 120 km de la ? Qui a un meilleur exemple ?

dans ce cas l'hypothese Si un véhicule parcourt 120 km en 2 h n'est pas vérifiée :o) Ashar Voultoiz|@ 6 septembre 2005 à 05:16 (CEST)

Et bien si ! Elle est vérifiée. La voiture à bien parcourut les 120 km. Donc ce n'est plus le compteur de la voiture qui va afficher les 60 km/h mais la dépanneuse.

Cet exemple n'est effectivement valabe que si la voiture ne subit aucun choc.

c'est un beau théorème ça

Les gars le théorème ne marche que si les fonctions sont continues, or un choc crée une discontinuité. Valvino 28 août 2007 à 13:54 (CEST)

T.A.F. et intégration

Blue sprite (d · c · b) vient de déposer sur ma page de discussion ce message:

Bonjour, comme écrit dans le titre, je viens vous parler de la page sur le T.A.F. : la partie T.A.F. et intégration n'est pas très pertinente, me semble-t-il. Le résultat démontré sur la page avec le T.A.F. généralisé se démontre bien plus simplement, sans hypothèse que v ne s'annule pas, simplement en supposant que v est de signe constant, en encadrant u par son max et son min, ce qui fournit un encadrement de l'intégrale, puis en appliquant le T.V.I. si on tient à faire apparaître un u(c). cordialement

Je crains bien qu'il n'ait raison. Je ne sais pas pourquoi en 2006, j'ai choisi la version de démonstration avec l'utilisation du T.A.F généralisé. Je remets cette version nettement plus simple. HB (d) 10 novembre 2012 à 10:06 (CET)

Ok mais du coup c'est devenu plus une généralisation du théo de la moyenne (=>à déplacer là-bas ? et remettre ici l'ancienne version ?) qu'une reformulation du TAF Anne (d) 5 décembre 2012 à 10:42 (CET)

Oui probablement . Je me suis laissé abuser par le fait que l'article anglais porte le nom de mean value theorem et regroupe ce que nous differencions en français (théorème des accroissements finis et théorème de la moyenne). On pourrait en fait signaler qu'il existe des versions intégrales du théorème des accroissements finis, les énoncer sans démonstration (inutile de présenter une démonstration alternative pour une situation restreinte) en mettant l'article théorème de la moyenne en article loupe et en y déplacement la présente démonstration.

De toute façon, il faudra un jour reprendre cet article : il faut

• mieux traiter l'articulation avec l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles, revoir la présence du cas de la fonction définie sur un ouvert de Rⁿ, parler quelquepart du théorème 2.1 de la page 26 de R.H. Martin, Non linear Operators and differential equations in Banach Space, John Wiley and Sons, 1976.
• évoquer que le théorème des accroissements finis ne s'applique pas pour une fonction de R dans R² avec contrexemple à l'appui (f(x)=(cos(x), sin(x))
• expliquer qu'il permet de prouver l'existence d'une tangente parallèle à une sécante sur une courbe plane mais pas sur une courbe en dimension 3 (contre-exemple de l'hélice).
• montrer le rôle important que joue le T.A.F. dans la mise en place du calcul infinitésimal (dérivée nulle sur I => fonction constante sur I, dérivée strictement positive => fonction strictement croissante), son rôle dans la dérivabilité aux bornes, dans les développements de Taylor....

Bref un vrai travail de fond que j'hésite à entreprendre car je manque par trop de recul. HB (d) 5 décembre 2012 à 11:46 (CET)

J'ai barré ci-dessus ce que j'estime avoir fait. Si cette estimation est trop optimiste sur certains points, tu peux bien sûr – ou quiconque – « dé-barrer ». Je ne ferai pas le reste. Anne (d) 9 décembre 2012 à 20:35 (CET) P. S. Les « versions intégrales » sont plus faibles puisque f et g sont C¹ et pas seulement dérivables, mais je ne vois pas comment mettre en garde sans alourdir

Dans Rⁿ

Bon, je suis au dela de mon niveau de compétence , mais il n'y aurait pas en fait un problème avec cette version ajoutée en 2007 ?. Si f(x,y)=(cos x, sin x), pour h=(2π;h₂), la formule donne f(x+2π, y+h₂)-f(x,y)=2π(-sin x₁, cos x₁)+ h₂(0,0). Ce qui est faux non? Ou alors quelque chose m'échappe? HB (d) 5 décembre 2012 à 12:08 (CET)

ok j'avais mal lu et pas vu que la fonction était à valeurs dans R. La nouvelle version est plus claire, plus simple et plus précise. Merci. HB (d) 5 décembre 2012 à 13:46 (CET)

Réciproque ?

Bonjour, j'aimerais savoir si l'inégalité des accroissements finis admet-elle une réciproque, c'est-à-dire s'il existe a et b tels que |f(b)-f(a)|< M|b-a| alors f est continue sur [a;b] ? Athanatophobos 8 avril 2017, 19 h

Bonsoir, je trouve ta question super-intéressante (d'autant plus qu'elle laisse la porte ouverte à diverses reformulations plus précises), et apparemment je ne suis pas la seule. Anne, 23 h 26

Il semble que la réciproque soit fausse en considérant le contre-exemple trouvé dans les commentaires en anglais vus grâce au lien donné ci-dessous :

It is not true. Let f(t)=t³. Then f′(0)=0 but (f(y)−f(x))/(y−x) is never 0. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Athanatophobos (discuter), le 9/4/17 à 19 h 42‎.

Ça, c'est un contre-exemple à une autre réciproque (celle qui dirait : tout nombre dérivé est un taux d'accroissement, comme réciproque du TAF qui dit : tout taux d'accroissement est un nombre dérivé). Mais peux-tu préciser ta réciproque (i.e. ta question initiale) ? Anne, 11/4/17, 3 h 41

Ma réciproque est celle que j'ai posée ci-dessus : |f(b)-f(a)|< M|b-a| alors f est continue sur [a;b]

Un de mes élèves de licence a eu cette question brute et d'après moi, on pourrait y répondre s'il y avait une réciproque de l'IAF. Athanatophobos 11/4/2017 8h30

Pour a et b fixés, la condition « |f(b)-f(a)|< M|b-a| » est toujours vérifiée, en prenant M suffisamment grand. Excuse-moi de faire une remarque aussi stupide mais je n'arrive pas à deviner ce que tu penses, qui n'est certainement pas ce que tu (ré-)écris. Anne, 11/4/17 à 10 h 33

Donc, je pourrais dire cela à mon élève : il y a bien une réciproque à l'IAF. Comme la fonction f sur [a;b] et qu'il existe M tel que |f(b)-f(a)|< M|b-a| alors f est continue. Athanatophobos, 11 h 30

Je comprends de moins en moins. Tu comptes dire à ton étudiant que n'importe quelle fonction est continue ? Anne, 12 h 11

Finalement, j'ai eu un contre-exemple venant de HB sur ma page : "la fonction partie entière sur l'intervalle [0,2], et prenons M=1, on a |f(2)-f(0)| ≤ M|2-0| alors que f n'est pas continue."— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Athanatophobos (discuter), le 12 avril 2017 à 09:33‎

Je suis très déçue par ton attitude Spécial:Diff/134673564/136354809, Spécial:Diff/136352924 mais surtout, frustrée que ta question fût finalement bel et bien si naïve. Anne, 12/4/17, 10 h 26

Le malentendu étant levé, reste la sujet soulevé par Anne :

Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]ab[, pour tout c de [a,b], existe-t-il x et y dans [a,b] tels que f'(c) = (f(x)-f(y))/(x-y) ?

La réponse semble bien être oui, sous certaines conditions. Je pense que cela mérite de figurer dans l'article mais peut-on appeler cela une réciproque ? problème inverse ? HB (discuter) 12 avril 2017 à 09:56

Oui, c'est bel et bien une réciproque et nous savons qu'elle est fausse. De question "intéressante", elle devient "naïve", étrange. Désolé d'être si direct, je sais que cela n'est pas la règle sur Wikipédia. Athanatophobos à 21 h 24

@Athanatophobos : plusieurs nouvelles confusions, en si peu de mots ! les bras m'en tombent, surtout si tu es vraiment prof de fac.

@HB : oui, j'avais vu ça dans la réponse Google donnée au début. Je pense comme toi que ce théorème mérite d'être mentionné dans l'article, et je crois qu'on peut, comme Tong et Braza, l'appeler une réciproque. Almeida a mis en évidence une faute dans la preuve de Tong et Braza, que Mortici a facilement réparée. Cette réciproque du TAF est d'ailleurs démontrée au passage dans diverses preuves du théorème de Darboux, qu'on pourrait peut-être mentionner en même temps. Anne, 13/4/17, 10 h 31

Dans Darboux, il y a la forme faible uniquement non? Bon on a les billes pour compléter l'article.

Je suggère un nouveau découpage 1 Fonction de la variable réelle 1.a énoncé 1.b AF généralisé 1.c inégalité des AF (lien avec fonction liptschitzienne) 1.d lien avec l'intégration 1.e Réciproque (forme faible, forme forte, un exemple pour montrer la nécessité des conditions (x^3 est un bon candidat) une remarque sur Darboux et forme faible) 2 Fonction d'une variable vectorielle 3 Fonction à valeurs vectorielles etc

Je te laisse faire l'amélioration sauf si tu as trop de boulot ailleurs. Dans ce cas, je peux maladroitement m'y coller. HB (discuter) 13 avril 2017 à 11:19

J'aimerais le faire si tu me laisses le temps. J'ai ajouté cette réciproque du TAF dans la page de Wikiversité sur Darboux : formes « faible », « forte », et une « intermédiaire » (dont la « forte » n'est qu'une formulation alambiquée, que j'ai bien envie de jeter aux oubliettes, quitte à attribuer l'intermédiaire, sous le nom de « forte », à Tong et Braza). L'actuelle « intermédiaire » est un corollaire immédiat de la « faible », grâce au TAF (ajout du 14/4 à 14 h 34 : j'en veux à Mortici de ne pas du tout l'expliquer, et par ailleurs, d'affirmer comme allant de soi que sur un intervalle, toute injection dérivable est monotone). Anne, 14/4/17, 04 h 04 P.S. (14/4, 13 h 58) Je viens de rendre cette page de Wikiversité bien plus lisible, j'espère.

L'enoncé s'est grandement simplifié depuis la source (Tong et Braza). Simplifier à ce point est-ce un TI? J'espère que non.... Du moins, je pense que cela vaut le coup. Je me charge, si cela ne te dérange pas, de l'interprétation graphique : il existe une parallèle à la tangente rencontrant la courbe en deux points avec illustration par la fonction sinus pour l'impossibilité du pb en cas de f'(c) max (finalement plus jolie que x^3) et une (ou deux - j'hésite à mettre le c.ex. avec point d'accumulation) autre(s) où il existe bien une sécante mais aucune dont les points d'intersection encadrent le point de tangence. HB (discuter) 14 avril 2017 à 14:28

Super ! il sera toujours temps d'adapter le(s) texte(s) en fonction de tes choix. Anne, 15 h 12

Deux remarques : (a) sur WV, c'est un réciproque du théorème des accroissement finis (et non une réciproque du théorème des valeurs intermédiaires) (b)Rem sur la dem de Mortici. Pour f continue, f non monotone => f non injective, n'est-ce pas une simple conséquence du théorème des valeurs intermédiaires ? ( mais il est vrai que je n'avais pas fait attention à la ponctuation et lu «If assume that h is injective, then h is strictly monotone, say strictly increasing. Since h is dérivable, as a consequence, for every etc. h'x) ≥ 0» comme quoi on lit ce qu'on a envie d'y trouver HB (discuter) 14 avril 2017 à 15:55

(a) Merci ! lapsi rectifiés

(b) Oui (sur WV je renvoie à la remarque finale ici) mais sa phrase suggérait (à cause de cette ponctuation) une preuve facile aussi mais moins élégante.

Anne, 16 h 44

p.s. je ne suis pas convaincue par la différence entre extremum global (fig. 1) et local (fig. 2). C'est juste plus commode à rédiger en global.

OK. Mon idée était de présenter un cas simple (c-à-d sans évoquer le cas pathologique d'oscillations infinies) où des cordes existent mais où aucune n'encadre c. Il me fallait donc bien prendre pour f'(c) un extremum local. Rem : si f'(c) est un extremum local mais non globale, on est assuré de l'existence d'une corde et aussi de l'existence d'un point t≠c tel que f'(t) = f'(c).HB (discuter) 15 avril 2017 à 07:24 (CEST)

Inégalité des accroissements finis et fonction lipschitzienne

Tout est dans le titre. Ne faudrait-il pas indiquer, dans le cas où la dérivée est bornée sur [a,b], outre la jolie traduction sur vitesse instantanée et vitesse moyenne, qu'une telle fonction est alors M-lipschitzienne? HB (discuter) 12 avril 2017 à 08:02

C'est fait. ce serait bien de parler aussi de l'application Dérivabilité#Dérivabilité et prolongement, mais vaut-il mieux le faire sous la forme « faible » (donc dans le § énoncé) ou sous la forme « forte » (donc dans le § inégalité) ? Anne 14/4/17, 16 h 28

A mon avis forme faible avec l'égalité. La personne curieuse pourra alors cliquer sur Dérivabilité#Dérivabilité et prolongement et voir qu'il existe aussi une forme forte utilisant l'inégalité. HB (discuter) 14 avril 2017 à 17:34 (CEST)

Histoire

Au détour d'une phrase dans Théorème de Cauchy-Lipschitz, je tombe sur : « Cauchy […] l'une de ses découvertes, qu'il affectionne particulièrement : le théorème des accroissements finis ». Dans Cauchy et le cours d'analyse de l'Ecole polytechnique, par Christian Gilain, je lis : « Année 1820-1821 […] apparition explicite d’une leçon sur le théorème des accroissements finis (leçon 18) ». Et dans Théorème des accroissements finis#Voir aussi : « le premier traité d'analyse présentant une démonstration correcte du théorème des accroissements finis (et identique à la présentation moderne) est celui de Dini, paru en Italie en 1878 ». Excusez mes questions naïves, mais la démonstration de Cauchy n'était donc pas correcte ? et ce théorème est-il vraiment « l'une de ses découvertes », ou bien y a-t-il eu avant lui d'autres démonstrations « incorrectes » ? Anne, 30/4/17, 11 h 31

Section généralisation à des courbes paramétrées

je souhaiterai des sources pour cette section car c'est la première fois que je vois ce type de généralisation.

Notamment, je ne comprends pas cet ajout

Le point O pouvant être choisi arbitrairement, il énonce en fait l'existence d'une corde [ C D ] parallèle à un plan donné passant par A B

Cr je ne vois pas le rapport avec la dérivabilité : sauf erreur de ma part pour toute courbe continue de l'espace, la continuité permet d'affirmer que , pour tout plan (P) contenant A et B, il existence deux points C et D de la courbe (distints de A et B) tel que [CD] soit parallèle au plan. HB (discuter) 14 octobre 2019 à 14:04 (CEST)