Discussion:Théorème de complétude de Gödel

Ajout de « Gödel » au nom du théorème

Puisqu'on ajoute Gödel à l'intitulé du théorème d'incomplétude pourquoi ne pas faire pareil pour celui ci comme dans le wiki anglophone? Fafnir 13 déc 2004 à 07:02 (CET)

Je serais pour. --Aldoo ✉ 13 déc 2004 à 19:35 (CET)

doublon

Article en double (quasi identique) entre wikipédia et wikibooks, il faut probablement retirer toute la partie démonstration sur wikipédia et utiliser un lien vers wikibooks. Voir Complétude de la logique du premier ordre phe 23 mar 2005 à 14:02 (CET)

Je ne suis pas d'accord. Les preuves aussi ont leur place dans une encyclopédie. Il ne faut pas sous-estimer les lecteurs. Le livre que j'ai édité sur Wikibooks a un autre objectif. Il s'agit de présenter mes découvertes sur les fondements des mathématiques. J'incorpore à Wikipédia les parties de mes recherches suffisamment connues et établies pour figurer dans une encyclopédie. Vous êtes priés d'étudier attentivement l'ensemble des articles sur la logique et les fondements des mathématiques si vous voulez être en mesure de prendre des décisions. La preuve du théorème est étroitement reliée à la théorie des arbres, à la théorie des modèles, au calcul des propositions et à plusieurs autres articles importants. Ne censurez pas ce que vous ne connaissez pas et laissez les gens compétents développer les parties de l'encyclopédie comme ils savent qu'ils doivent le faire. --TD 23 mar 2005 à 16:47 (CET)

On pourrait dire les choses autrement: ta suggestion montre que tu n'as pas compris comment on constitue un hypertexte. --TD 23 mar 2005 à 17:26 (CET)

L'hypertexte permet de faire des liens plutôt que de dupliquer l'information à droite et à gauche. Les problèmes causé par la duplication d'information ne te sont pas familier ? 24 mar 2005 à 01:15 (CET)

Non, quels sont-ils ? Bien sûr que je parle des liens entre l'article Théorème de complétude et les autres articles de Wikipédia. As-tu lu ce que j'ai écrit ? Si tu crois m'apprendre ce qu'est un hypertexte...--TD 24 mar 2005 à 01:30 (CET)

Qu'une bonne partie de ce texte est dupliqué, toute correction ou modification dans l'un demandera des corrections et modifications dans l'autre, c'est le principe basique des renvois que vous remettez en cause, pratique que les liens hypertexte ont nettement amélioré. Quant vous aurez de meilleur arguemnt que « laisse les grandes personnes travailler » vous pourrez m'en faire part. phe 24 mar 2005 à 01:39 (CET)

C'est justement pour cela qu'ils sont dupliqués. L'un est destiné à vivre dans l'hypertexte de Wikipédia. Il deviendra donc très différent de ce qu'il est aujourd'hui. L'autre est publié dans Wikibook sous une forme beaucoup plus classique (pas de liens ni internes ni externes). Il est nécessaire à la cohérence de l'ensemble de l'ouvrage, qui se termine par une esquisse de preuve de la cohérence de la théorie des ensembles ZFC. Il pourrait être modifié par d'autres wikiécrivains, mais pour l'instant ce n'est pas vraiment l'usage. Je l'accepterai volontiers si cela améliore l'ouvrage. Les textes sur Wikipédia et sur Wikibook sont écrits pour des buts différents. Il se trouve qu'à présent les contenus sont presque identiques, mais cela changera, et c'est normal. Quand j'ai demandé si je pouvais publier mes recherches sur Wikipédia, on m'a dit d'aller sur Wikibook, ce que j'ai fait volontiers. Est-ce que vous en concluez qu'un article complet (presque) sur le théorème de complétude ne doit pas exister sur Wikipédia, sous prétexte qu'il est déjà sur Wikibook ? Vous voulez me donner des leçons mais vous ne dîtes que des absurdités, selon moi.--TD 24 mar 2005 à 01:51 (CET)

Me dire d'abord « Ne censurez pas ce que vous ne connaissez pas et laissez les gens compétents développer les parties de l'encyclopédie comme ils savent qu'ils doivent le faire. » et maintenant m'accuser de vouloir donner des leçons…, enfin laissons cela de coté.

Nette amélioration dans l'argumentation, il reste le « Les preuves aussi ont leur place dans une encyclopédie » mais c'est un problème plus général qui devrait (devra ?) être débatu ailleurs qu'ici. phe 24 mar 2005 à 03:08 (CET)

(Je serais très heureux que vous me donniez des leçons mais pour cela il faudrait qu'elles soient pertinentes. Moi je vous donne une leçon. Quand on ne connait rien à ce dont on parle (cf en outre Encyclopédie leibnizienne) et qu'on se croit autorisé à censurer et à exclure sans donner la moincre justification valable (allez-vous censurer tous les articles qui ne vous plaisent pas en disant "essai personnel" ?), on mérite de recevoir une leçon. Il y a des règles de fonctionnement sur PàS (lisez ce qui est en haut de la page). Vous transgressez ces règles d'une façon qui devrait faire honte à tout le monde à Wikipédia et vous voulez (en vain) me donner des leçons... Regardez-vous en face. --TD 24 mar 2005 à 08:09 (CET)

Ne prenez pas les gens pour des idiots, tout le monde verra en lisant cette discussion que c'est vous qui avez tenté dans votre première réponse de donner des leçons. Accusez quelqu'un de faire ce que vous êtes précisément en train de faire semble être un de vos moyens de communication favori. Maintenant si vous insistez pour recevoir des leçons en voici deux :

1. dans l'expression encyclopédie collaborative quel est le second mot ?
2. évitez de faire usage d'expressions comme « faire honte à wikipédia  » ou de comparer les gens qui ne sont pas d'accord avec vous à des nazis comme vous l'avez fait récemment sur le bistro, à fortiori quand elles se rapportent à des actes imaginaires. phe 24 mar 2005 à 17:34 (CET)

Forme

Je sais que la discussion ci-dessus date de mars, mais en vous lisant, moi je déprime plus que je ne tranche pour l'un ou pour l'autre ..En arriver au mot nazis lorsque l'on discute d'un article d'encyclopédie, je trouve çà tout de même pas banal!! , Noubliez pas le Wikilove :o) (PS : c'est urgent).

Sinon, pour tout de même donner mon avis, je dirais qu'il n'y a pas amha de problème pour mettre quelque théorème que ce soit sur Wikipédia, à partir du moment où il a un minimum de style (et un interêt encyclopédique). Je pense qu'il ne faut pas censurer cet article (même s'il est sur wikibook), je pense par contre que quelqu'un comme moi(et suis pas le seul), qui n'est pas forcément super calé sur le sujet aura plus de mal à faire de la mise en forme en tenant compte du fond (par exemple faire ressortir les points essentiels, un peu comme ce qui a été fait en gras sur wikibook).

En effet, je pense en tant que contributeur lambda qu'il y a encore pas mal de boulot sur la présentation de cet article. Surtout, plus le public ciblé est limité, moins il y aura de contributeur apte à intervenir pour améliorer le fond et plus l'article original devra être bien présenté et structuré :). --Boly 30 octobre 2005 à 23:01 (CET)

Vérités mathématiques ?

J'avoue ne pas comprendre ce que peut signifier la phrase : Cela ne doit pas cependant faire croire qu'on peut mettre sur un pied d'égalité les vérités arithmétiques standards et non-standards. Comme il est dit par ailleurs, on peut prendre les axiomes que l'on veut et le choix des axiomes que l'on prend répond à un besoin précis. Il est alors tout à fait légitime de prendre tel système ou au contraire tel autre système. Seuls les problèmes que l'on se pose conduisent à privilégier telle ou telle voie, et la phrase en question, supposant a priori une vérité mathématique supérieure aux autres, n'a pas lieu d'être. Theon 11 mars 2006 à 17:25 (CET)

Tout le paragraphe est à revoir : la notion de modèle standard n'est pas universelle. Elle a un sens pour l'arithmétique, mais pas par exemple pour la théorie des ensembles. Pour l'arithmétique, c'est le N que l'on connait et que l'on peut définir par exemple ... en théorie des ensembles. On parle aussi d'entier standard (dans un modèle non standard), qui sont les entiers usuels, obtenus à partir de 0 par itération du successeur. Parler de vérité standard ou non standard n'est pas usuel, il s'agit apparemment de vrai dans N, ou vrai dans un modèle non standard de l'arithmétique (ce qui n'est pas forcément différent pour des énoncés du langage de l'arithmétique).

La place de ce paragraphe dans un exposé sur le théorème de complétude est discutable. Si on le laisse, il faut le relativiser à l'arithmétique. Il ne faut pas invoquer le théorème d'incomplétude, pas de cette façon en tout cas. Le théorème de compacité suffit pour montrer l'existence d'un modèle non standard, et on peut avoir ainsi un modèle qui satisfait les mêmes énoncés du langage d'origine, sur les entiers standards. La référence à Fermat-Wiles est un effet de mode. Autant prendre un énoncé dont on sait vraiment qu'il n'est pas démontrable dans Peano.

Mais j'aurais tendance à penser qu'il faut résister à l'empilement de notions n'ayant qu'un rapport lointain avec le sujet de l'article. En rendant correct ce paragraphe, on rendra plus difficile sa suppression. Actuellement pas d'état d'âme. Proz 9 mai 2006 à 19:57 (CEST)

Suppression du paragraphe "modèles non standard". Raisons : hors sujet + voir ci-dessus + avis signé CB sur une citation analogue dans Discuter:axiomes de Peano Proz 11 mai 2006 à 23:59 (CEST)

En fait, en lisant le reste, l'ensemble de l'article serait à revoir : calcul égalitaire ou non, choix terminologiques pas limpides, notations, surtout les deux premiers §, y compris ce que je viens de modifier. Proz 12 mai 2006 à 03:15 (CEST)

Théorème de Löwenheim : texte manquant ?

Bonjour. Dans cette section, à hauteur du 3ème ou 4ème paragraphe, on lit un début de phrase "Cela résulte" sans suite. Merci pour la relecture et la rectification. Cordialement --nha de Lyon 6 septembre 2006 à 12:21 (CEST) [corrigé] Merci à vous, Proz. --nha de Lyon 7 septembre 2006 à 00:37 (CEST)

Commentaires sur les sources

Est-ce que les commentaires sur les sources sont pertinents et à jour. Par exemple le commentaire « un exposé moderne » sur un livre qui a 41 ans, me parait un peu daté. --Pierre de Lyon (d) 9 octobre 2009 à 22:57 (CEST)

Tout à fait d'accord, on peut tous les enlever. La démonstration esquissée est à l'ancienne aussi : skolemisation pour se ramener au calcul propositionnel, maintenant on fait plutôt preuves à la Henkin. Elle n'est faite que pour une formule De plus elle n'est pas claire, elle prend en exemple des axiomes avec égalité mais ne traite pas les modèles égalitaires (il faudrait un quotient) .... Proz (d) 9 octobre 2009 à 23:28 (CEST)

J'ai donc mis l'article en ébauche. --Pierre de Lyon (d) 10 octobre 2009 à 08:59 (CEST)

Rôle de Henkin et Hasenjaeger dans sa simplification

En introduction, je préciserais bien qu'il a ensuite été simplifiée en 1947, par Leon Henkin dans sa thèse The Completeness of Formal Systems (la complétude des systèmes formels) publiée en 1949 il me semble qu'on lui doit d'ailleurs la simplification syntaxique mais je ne suis pas sur. La preuve de Henkin a ensuite été simplifiée à son tour par Gisbert Hasenjaeger en 1953. Utile? Qu'est-ce que vous en pensez ? Haugure (discuter) 12 juin 2015 à 14:42 (CEST)

À mon avis c'est trop de détails pour une introduction; ça peut être intéressant de créer une section historique pour ça. Laurent de Marseille (discuter) 15 juin 2015 à 10:05 (CEST)

Rédaction de l'introduction

J'ai découvert il y a quelques jours que quelqu'un a supprimé le paragraphe d'explication intuitive dans l'introduction au motif que celui-ci était faux. En tant qu'auteur dudit paragraphe j'ai commencé par bien me garder de réagir à chaud, et j'ai passé 3 jours à me demander ce que j'avais écrit de faux, pour finalement arriver à la conclusion que la personne n'avait pas compris ce que je voulais dire (mais je suis prêt à lire une explication qui m'a cruellement manquée et à reconnaître celle-ci si elle est convaincante (formalisable en logique du 1er ordre ?)).

D'autre part un autre paragraphe est arrivé en remplacement que je ne trouve absolument pas faux, mais redondant avec les deux autres et parfois confus. Aussi et sans vouloir démarrer une guerre d'édition me suis-je permis de supprimer ce paragraphe et de remettre l'explication en termes de démonstrations informelles/démonstrations formelles que je pense importante à faire figurer dans l'introduction et que j'espère plus compréhensible maintenant.

Laurent de Marseille (discuter) 24 avril 2016 à 20:54 (CEST)

Bonsoir à vous et merci pour vos contributions. C'est moi qui a supprimé le paragraphe suivant ː

En termes intuitifs le théorème de complétude dresse un pont entre mathématiques informelles (exprimées dans le langage mathématique usuel) et mathématiques formelles (exprimées dans le système syntaxique du calcul des prédicats) en établissant que si on dispose d'une démonstration d'un énoncé alors on peut formaliser celle-ci ; la syntaxe est donc complète dans le sens où elle permet de représenter n'importe quelle démonstration informelle.

J'explique mon choix pour la suppression. Le théorème de complétude de la logique du premier ordre ne dresse pas de pont entre mathématiques informelles et système formel (par exemple la déduction naturelle). Il dresse un pont entre la sémantique et un système de preuve. J'en ai profité pour rajouter une illustration et je vais me servir de celle-ci pour énoncer le théorème de complétude. Il dit ː si une formule de la logique du premier ordre est valide (vraie dans tous les modèles, partie gauche du dessin), alors il existe une démonstration de cette formule en (ici) la déduction naturelle (partie droite du dessin). J'insiste sur le fait que le théorème ne parle pas de "formalisation" ou de "représentation" d'une démonstration informelle. Ainsi, je ne suis pas d'accord avec une phrase comme "tout argument établissant une vérité mathématique peut être formalisé dans le système de déduction". Il n'y a justement pas "d'argument établissant une vérité mathématique" à formaliser. Une formule valide est juste... vraie dans tous les modèles. ː) Et si c'est le cas, il existe une preuve.

C'est (sans doute) moi qui ait rajouté le paragraphe confus que vous mentionnez. N'hésitez surtout pas à signaler les phrases non claires etc. Enfin, pour finir, ce n'est pas une "guerre d'édition" mais un beau projet d'article à créer tous ensemble. Merci à vous et bonne soirée.

--Fschwarzentruber (discuter) 24 avril 2016 à 22:27 (CEST)

« Il n'y a justement pas "d'argument établissant une vérité mathématique" à formaliser » : c'est tout-à-fait exact, je me suis fait cette réflexion en réfléchissant après coup qu'il était abusif de faire dire au théorème de complètude que l'on peut formaliser un argument informel donné; tout ce que l'on peut dire est que s'il existe un argument (informel) établissant rigoureusement la vérité d'un énoncé (dans tout modèle) alors il en existe une démonstration formelle. En pratique si l'on cherche celle-ci on va partir de notre argument et tenter de le formaliser en utilisant un assistant de preuve, mais je suis d'accord que ça n'est pas ce que le théorème de complétude affirme. J'ai donc repris le paragraphe en ce sens, dites moi si ça vous semble convenable.

« C'est (sans doute) moi qui ait rajouté le paragraphe confus que vous mentionnez » : en fait le principal problème que j'avais avec ce paragraphe est qu'il ne me semblait pas ajouter d'information par rapport aux deux autres, c'est pourquoi je l'ai enlevé. Mais on peut le remettre s'il vous semble nécessaire.

Le fond du débat est qu'il y a deux (au moins) notions de vérités : une notion intuitive que l'on ne sait pas définir (c'est un autre théorème de Tarski) mais que l'on comprend bien (ou du moins le croit-on puisqu'elle est intuitive) et une notion mathématique qui est celle de Tarski ; lorsque l'on approxime le théorème de complètude en : « un énoncé vrai est démontrable » on fait plutôt référence à la notion intuitive et c'est cette confusion que j'ai voulue (peut-être pas très adroitement) lever.

Laurent de Marseille (discuter) 26 avril 2016 à 13:53 (CEST)

1) Au sujet "d'argument établissant une vérité mathématique" à formaliser". Oui, je pense que c'était confus car on avait des "démonstrations" des deux côtés (informelles et formelles) et effectivement, ce n'est pas le théorème de complétude du tout. Mais je vois où vous voulez en venir. Si en particulier, on a une démonstration en français de "pour tout M, M |= phi" alors phi est valide et donc d'après le théorème de complétude, on a M |-- phi. Je ne sais pas trop quoi en penser. Je pense que l'article n'a pas besoin de signaler cela, si ?

2) Au sujet du paragraphe que j'avais ajouté. Non, je trouve que le début est bien là. Peut-être que énoncer le théorème de complétude avec un encadré "théorème" comme cela est fait dans d'autres articles ?

3) Lors que l'on approxime le théorème de complétude en : « un énoncé vrai est démontrable », on entend "valide" à la place de "vrai", i.e. "vrai dans tous les modèles".

Bonne journée à vous et merci pour la discussion. --Fschwarzentruber (discuter) 26 avril 2016 à 14:55 (CEST)

J'ai fait quelques modifications de détails. Je pense que dans le cas qui nous concerne il est indispensable de ne pas confondre « preuve » et « démonstration », même si par influence de l'anglais cette différence disparaît souvent dans la rédaction de Wikipédia. D'autre part, l'introduction actuelle suppose que le lecteur sait ce qu'est la sémantique. Je n'en suis pas convaincu et je suggère de rappeler éventuellement pas une note ce qu'est la sémantique. --Pierre de Lyon (discuter) 26 avril 2016 à 18:28 (CEST)

Skolémisation

Je pense qu'il faut détailler le point 1 dans le paragraphe "Démonstration de Henkin". Ce qui est selon moi fondamental c'est de donner une idée du mode de génération des termes permettant d'aborder le point 2, c'est-à-dire permettant de construire "un modèle "syntaxique" dans lequel les éléments du domaine sont les termes. Or le "si T contient une formule de la forme ∃ x ψ ( x ) alors T doit aussi contenir une formule ψ ( c ) où c est une constante fraîche" me semble insuffisant pour faire ne serait-ce que la preuve placée en épigraphe. Par contre il me semble suffisant pour démontrer la formule ∀x Px ⇒ ∃x Px , formule contre-intuitive, philosophiquement choquante, sur laquelle il faut, à mon avis, impérativement s'arrêter: -d'abord parce qu'elle figure en tête des propriétés moins intuitives de l'article Wikipédia avec un renvoi à la note 9: "Ainsi, afin d'avoir le théorème de complétude l'ensemble de base d'une structure du calcul des prédicats n'est pas vide."; -ensuite car il faut générer suffisamment de termes pour espérer prouver le théorème (de même qu'il faut suffisamment de vocabulaire pour décrire correctement une situation ou un phénomène donné en langage courant). Et on voit que pour démontrer la formule encadrée rajouter des termes ne suffit pas, il faut, je crois, d'abord "skolémiser" un peu, c-à-d, au minimum, renvoyer à l'article Wikipédia éponyme.

NB: Merci d'être indulgent, il y a plus de quarante ans que j'ai lâché les pédales sur le sujet... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.96.70 (discuter), le 8 avril 2020 à 22:29 (CEST)