Discussion:Quadrilatère complet

Mise en page

J'ai modifié la mise en page, en vue d'importer le contenu de division harmonique sur le quadrilatère complet (et puis le premier dessin en correspondance avec le texte ça n'est pas plus mal ?). Proz (d) 6 avril 2008 à 00:40 (CEST)

Au risque de briser la belle harmonie entre les trois dessins, je propose de remplacer celui du paragraphe sur les divisions harmoniques par celui de l'article division harmonique section "quadrilatère complet" actuelle : les trois divisions harmoniques sont représentées, les deux démonstrations de l'article seraient déplacées ici. Proz (d) 8 avril 2008 à 20:43 (CEST)[fait] le 20 avril 20:17

Preuve de la construction du 4e harmonique

Bonjour, on pourrait ajouter une 3e preuve "projective" de la construction (voir Samuel, "Géométrie Projective"), soulignant ainsi le caractère projectif du truc --Fanu (d) 15 juillet 2009 à 12:17 (CEST)

Tout-à-fait d'accord. D'ailleurs, elle est presque faite dans la section propriétés du début. Il suffirait de rajouter :

En effet, l'homographie envoyant (A,C,E,F) sur (A,C,P,Q) où P et Q sont les point à l'infini des droites (AD) et (AB) transforme le quadrilatère ABCD en le parallélogramme AB'CD', le point I en l'intersection I' des diagonales, et J et K en les points à l'infini des diagonales, c'est-à-dire en des conjugués harmoniques de I'. Le résultat s'ensuit, sachant que les homographies préservent le birapport.--JC.Raoult (discuter) 15 janvier 2021 à 16:08 (CET)

Démonstration ajouté à l'article. Merci. HB (discuter) 17 juillet 2021 à 21:23 (CEST)

Démonstration géométrique de la division harmonique sur le diagonales serait à mieux articuler

La démonstration telle qu'articulée me semble insatisfaisante en deux endroits :

1) Elle comporte une erreur probable de typographie. Il est écrit "Soit M l'unique point sur la droite (EI) tel que le faisceau [E|F,C,M,D] soit harmonique". Par définition, si le faisceau [E|F,C,M,D] est harmonique, TOUS les points de la droite EI et non pas un unique point M satisfont à la condition. Je pense qu'il s'agit qu'il s'agit d'une faute de frappe et qu'il faut comprendre ""Soit M l'unique point sur la droite (EI) tel que le faisceau [F|E,B,M,D] soit harmonique"

2) Elle comporte une articulation obscure (IH) = (IH') (c'est à dire I sur HH') est présenté comme une propriété découlant de ce que les faisceaux [I|E,B,H,C] et [I|E,B,H',C] sont harmoniques or ceci est faux ou plus exactement beaucoup plus général : Si les birapports [I|E,B,H,C] et [I|E,B,H',C] sont égaux, I est toujours sur la droite HH'. Et c'est à mon sens cela qui constitue la déduction intéressante : Si I est toujours sur la droite HH' quelle que soit la valeur des birapports [I|E,B,H,C] et [I|E,B,H',C] dès lors qu'ils sont égaux , I est aussi sur la droite HH' si les birapports [I|E,B,H,C] et [I|E,B,H',C] sont harmoniques. Il ne reste plus alors qu'à rappeler que l'harmonique d'un point par rapport a deux droites sécantes est une droite passant par l'intersection de ces deux droites et à l'appliquer au point E et aux droites FB et FC sécantes en F.

--Suzannevercellin (discuter) 6 octobre 2014 à 17:14 (CEST)

Corrigé en 2017 par Kelam. HB (discuter) 17 juillet 2021 à 09:10 (CEST)

Démonstration géométrique avec faisceaux de droites

Je transfère ici un mail que je viens de recevoir mais qui ne me concerne pas. Anne, 27/10/15 :

« Bonjour j'ai lu votre démonstration sur Wiki sur le quadrilatère complet. Un petit point me chagrine:

Démonstration géométrique

Étant donné trois droites issues d'un point, il n'existe qu'une seule droite formant avec celles-là un faisceau harmonique.

Notons $[O|A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}]$ le faisceau des droites $(OA_{1}),(OA_{2}),(OA_{3}),(OA_{4})$ (Les points $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ n'étant pas forcément alignés).

Soit $I$ le point d'intersection des diagonales $(AC)$ et $(BD)$. Soit $M$ l'unique point sur la droite $(EI)$ tel que le faisceau $[E|F,C,M,D]$ soit harmonique. Posons $H=(FM)\cap (BC)$ et $H'=(FM)\cap (AD)$.

On a $[F|E,B,M,D]=[F|E,B,H,C]$, de sorte que le faisceau $[I|E,B,H,C]$ est harmonique (rappelons que le fait d'être harmonique ne dépend que de la position des points d'intersection avec une sécante ; ici la sécante est la droite $(EC)$).

Pour une raison analogue, il en est de même de $[I|E,A,H',D]$.

Mais comme $(IA)=(IC)$ et que $(IB)=(ID)$, on a $[I|E,A,H',D]=[I|E,B,H',C]$ de sorte que les deux faisceaux $[I|E,B,H,C]$ et $[I|E,B,H',C]$ sont tous deux harmoniques et possèdent trois droites communes. En vertu de la propriété d'unicité, ces deux faisceaux sont identiques et par conséquent $(IH)=(IH')$.

Ainsi $I=(HH')\cap (EI)=M$ par définition de $M$.

Le faisceau $[F|J,B,I,D]$ est donc harmonique ce qui signifie que $[I,J]$ divise harmoniquement $[B,D]$.

 

On ne sait pas que $[F,|E,C,M,D]=-1$ car quelle que soit la position de M sur (EI), le birapport ne change pas.

C'est donc comme si vous présupposiez que $[F,|E,C,I,D]=-1$, or justement on veut en arriver là.

M Fernandez Thierry »

article corrigé par Kelam en 2017[1] [E|F, C, M, D] corrigé en [F|E, B, M, D]

En revanche l'ordre des droites me choque: il ne correspond pas à l'ordre classique des points dans une division harmonique. A mon avis, il faudrait parler du faisceau [F|E, M, B, D] (au lieu de [F|E, B, M, D]) (une alerte en 2015, une correction en 2017, une objection en 2021, WP est lente, lente, lente à s'améliorer...).HB (discuter) 17 juillet 2021 à 09:07 (CEST)

Ordre des points remis dans le sens plus classique. HB (discuter) 20 juillet 2021 à 13:49 (CEST)

Définition des sommets et des diagonales

Athanatophobos 28 avril 2016

J'ai rajouté des définitions pour les diagonales et les sommets car l'article ne les définissait pas.

"Les intersections de ces quatre droites donnent six sommets. L'intersection de deux droites et l'intersection des deux autres droites sont des sommets opposés. Le segment joignant deux sommets opposés est une diagonale. Il y a trois diagonales dans un quadrilatère complet."