Discussion:Produit semi-direct

En principe en LaTeX le produit semi-direct c'est \rtimes non? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 213.44.82.193 (discuter), le 28/7/2006.

Il faudrait une introduction présentant l'historique de cette notion et surtout son utilité. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.124.108.79 (discuter), le 20/12/2011.

Notations

Il serait plus commode d'utiliser les notations N et H pour les groupes dont on fait le produit semi-direct plutôt que H et K, dans le sens où N est l'initiale de Normaĺ, ce qui permet de distinguer et mémoriser plus facilement le rôle de chaque groupe. Je me propose d'effectuer ce changement de notation prochainement, sauf s'il y a des objections.Theon (discuter) 5 janvier 2021 à 08:12 (CET)

Je suis entièrement d’accord. Mon rapport au produit semi direct ( de groupe …..) est le suivant. Je lis, j’ai mal à la tête, je finis par comprendre, et quand j’ai besoin faut tout recommencer, j’ai tout oublié. Alors un truc mnémotechnique je suis entièrement d’accord. Exemple : Mathieu professeur à Sartene veut donner à une élève pour le grand oral B3 le groupe des tresses sur 3 brins. Il veut donner à partir des générateurs de B3 le nombre d’éléments de longueur n ( mots (réduits ) de longueur n en les générateurs ). Alors j’appelle Gérard ( Duchamp ) pour le briefing. «  Bn c’est le produit semi direct de Pn le groupe des tresses Pures par le groupe des permutions sur un ensemble à n éléments » Ah oui, lumineux ( mais c’est qui le sous groupe invariant, distingué Normal? Après j’ai plus qu’à le mettre à gauche, merci Theon, et trouver comment l’autre agit sur lui ).

« Pn c’est le produit semi direct de P(n-1) et de F(n-1) le groupe libre à (n-1) générateurs »

Kool, Houlala ( Houlagou, Bagdad 12358, 1258) reste plus qu’à trouver le sous groupe Normal.

Bon je triomphe bêtement, Mathieu dit toujours « avant je comprenais les automates, et depuis que je t’ai rencontré je ne comprends plus rien ». Hé ben le groupe des tresses est automatique ( même biautomatique ), comme les groupes ( et pof sur la tête à Juan Martin ).

Reste à comprendre pourquoi Gérard m’a parlé de l’élimination de Lazard ( Daniel ). Et puis je vais demander à Didi si la série génératrice

sigma b_n z^n , où b_n nombre de mots réduits de longueur n en les générateurs de Bn est dans sa hiérarchie à pile. Corte, Majestic ….. La famille Imum a deux fils ….. Pierre Joseph Simonnet (discuter) 11 avril 2023 à 14:47 (CEST)

Errare humanum est, persévérare diabolicum est. J’ai écrit une ânerie. Pn, le groupe des tresses pures, est bien un sous groupe distingué de Bn, le groupe sur un ensemble à n brins. C’est le noyau du morphisme de groupe qui associe à une tresse la permutation (élément du groupe Sigma_n des permutations sur un ensemble à n éléments) associée. Mais Bn n’est pas le produit direct de Pn et de Sigma_n.

Tous les éléments de Bn sont d’ordre infini. Donc Bn n’a pas de sous groupe fini. Pierre Joseph Simonnet (discuter) 20 avril 2023 à 12:48 (CEST)

Par contre Pn est un produit semi direct (mnémotechnique

<math> G = N \rtimes K</math> le sous groupe Normal, distingué, invariant à gauche du produit)

soit F_n le groupe libre à n éléments

<math> P_n= F_{n-1} \rtimes P_{n-1} </math>

une tresse pure agit sur un éléments sur groupe libre. Merci à Gérard ( Duchamp) c’est bien d’avoir la hotline. Gégé la bouée canard quand il y a 10000 de fond et qu’on s’est pas nager. Gégé, il fréquente Maxime Kontsévitch. Reste à comprendre pourquoi, d’après Mathieu, la série génératrice de B3 fait apparaître la suite de Fibonacci. Pierre Joseph Simonnet (discuter) 20 avril 2023 à 13:09 (CEST)