Discussion:Produit cartésien

Définition

L’énoncé définissant le produit cartésien était faux : il ne caractérisait pas, pour deux ensembles $A$ et $B$ donnés, l’unique ensemble contenant exactement tous les couples de première composante dans $A$ et de seconde composante dans $B$. Tout sur-ensemble $P$ de $A\times B$ ne contenant aucun autre couple que ceux de $A\times B$ satisfait en effet la propriété :

$\forall x{\text{, }}\forall y{\text{, }}[(x\in A)\land (y\in B)\Leftrightarrow (x,y)\in P]$.

(On n’avait donc pas non plus unicité.) Le produit cartésien $A\times B$ contient tous les couples de première composante dans $A$ et de seconde composante dans $B$ et aucun autre élément :

$\forall z{\text{, }}{\bigl \{}z\in A\times B\Leftrightarrow {\bigl [}\exists x{\text{, }}\exists y{\text{: }}{\bigl (}(x\in A)\land (y\in B)\land (z=(x,y)){\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}$.

Ici, l’axiome d’extensionnalité s’applique effectivement car les éléments de $A\times B$ sont entièrement caractérisés.

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Marcouney (d) 6 juin 2013 à 17:10 (CEST)

Tranfert vers couple (mathématiques)

J'ai repris une partie de cet article dans l'article couple (qui présentait un codage en théorie des ensembles différent et non usuel). J'ai au passage un peu corrigé (l'aspect historique surtout). A terme il faudra supprimer ici la partie de l'article qui fait doublon et renvoyer à l'article couple [Fait en partie : Multiplet à déplacer également ?] Proz 13 juillet 2006 à 20:09 (CEST)

Famille d'ensembles

Je reviens en arrière sur une modification de Utilisateur:80.118.33.228 qui définit une "famille d'ensembles" comme un "ensemble d'ensembles". Je ne connais pas d'usage dans ce sens, j'ai un peu vérifié. Il semble que quand on parle de "famille d'ensembles", c'est forcément indexée, ou tout du moins que ce soit un usage majoritaire. L'index du Krivine (théorie des ensembles) renvoie directement à famille indexée. Proz 29 août 2006 à 14:11 (CEST)

Merci à Dijkschneier qui vient de signaler sur ma PdD une coquille dans cet article, par le message que je copie ici. Je la corrige en suivant. Anne Bauval (d) 4 juillet 2010 à 17:03 (CEST)

J'ai hésité à corriger les accolades en parenthèses parce que j'ai observé que dans un article connexe (Produit cartésien), on faisait référence à ce genre de familles notées expressément par des accolades, et qui étaient en fait des familles d'ensembles. Evidemment, je ne suis pas du tout expert en la question, et une lumière de votre part me réjouirait fortement. --Dijkschneier (d) 4 juillet 2010 à 16:09 (CEST)

Représentation en théorie des ensembles

La référence à l'ensemble des parties n'est pas nécessaire à la définition du produit cartésien.

Source : http://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2003-November/007676.html dans la FOM list par Harvey Friedman at http://www.math.ohio-state.edu En effet - et c'est si simple que je l'avais vu moi-même - l'existence du produit cartesien peut être obtenue en utilisant le schéma de remplacement (substitution) au lieu de l'axiome de l'ensemble des parties, ce qui va dans le sens du rasoir d'Occam et en plus ne depend pas de la définition qu'on donne du couple ordonné. - Michel421 22 juillet 2007 à 15:47 (CEST)

Pour moi l'axiome de l'ensemble des parties est "plus simple" que le schéma de remplacement qui est souvent mal compris et, utile surtout en théorie des ensembles proprement dite (dès que l'on parle d'ordinaux, il est indispensable). Il me semble que la justification par défaut doit rester l'actuelle, qui est la plus courante et qui fonctionne dans la théorie de Zermelo. Par contre il est tout à fait intéressant de mentionner cette autre possibilité. Proz 23 juillet 2007 à 18:43 (CEST)

J'ai fait une preuve rigoureuse avec l'ensemble des parties c'est très long, j'en ai fait une autre avec le schéma d'axiomes de remplacement ça fait 1/8ème de la longueur de la première preuve; — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 15:50 (CEST)

Produit vide

L'expression "par définition" pourrait prêter à confusion ; ExØ = ØxE = Ø est quelque chose qui se déduit facilement mais n'est pas en soi une définition.- Michel421 signature à retardement

modifié en conséquence. Proz 29 juillet 2007 à 15:37 (CEST)

Catégories

J'ai rajouté un paragraphe sur la représentation du produit cartésien en théorie des catégories.--Michel421 (d) 21 février 2008 à 01:04 (CET)

Je vais modifier un peu la présentation. Telle qu'elle est, on dirait qu'il est question de produit dans une catégorie quelconque. Liu (d) 31 décembre 2009 à 12:32 (CET)

Et le cardinal d'un produit cartésien…?

Je suis surpris qu'il n'y ait pas de lien vers une page où l'on discute la question. Est-ce voulu ?--Chassaing 17 janvier 2010 à 11:28 (CET)

C'est un article fait de strates successives, je ne sais pas qui voudrais ou non, mais où serait le problème ? (cardinalité finie ou infinie ?). Proz (d) 17 janvier 2010 à 23:06 (CET)

Cardinalité finie, surtout. C'était pour savoir si je pouvais rajouter cela dans une section supplémentaire, mais j'ai l'impression que ça viendrait comme un cheveu sur la soupe. Et j'ai d'autres pages qui demandent quelques soins plus urgents et plus simples. Ce dont je parle est basique et utilitaire, ce qui n'est pas la tonalité de l'article actuel. J'ai rajouté ce qu'il me fallait dans Combinatoire, et ça me suffit pour l'instant. Merci pour un conseil éventuellement, mais je vais surtout oeuvrer ailleurs, pour le moment.--Chassaing 18 janvier 2010 à 01:19 (CET)

J'ai bien pris note que tu oeuvres ailleurs, mais je préfère ajouter, que la présentation actuelle de l'article ne me semble pas convenir. Il faudrait effectivement commencer par le basique et l'utilitaire, et mieux les disjoindre des questions de formalisation. Proz (d) 18 janvier 2010 à 19:30 (CET)

Ca me rassure qu'on soit d'accord sur cet article, mais je suis plus compétent en proba. J'ai rajouté, dans Combinatoire, que, pour une suite d'ensembles finis,

$\mathrm {card} (E_{1}\times E_{2}\times E_{3}\,\dots \,\times E_{n})=\prod _{i=1}^{n}\mathrm {card} (E_{i}).$

Evidemment je pense que ça devrait figurer dans cet article, aussi. Mais l'important pour moi était de donner un critère basique, mais utile, d'indépendance de variables aléatoires, et de pouvoir renvoyer à une autre page pour cette formule. Combinatoire est assez logique, produit cartésien le serait encore plus.--Chassaing 18 janvier 2010 à 21:20 (CET)

Donner un sens au produit quelconque

Bonjour, bravo aux contributeurs cet article a le mérite d'être concis et juste.
Pour moi il pourrait être complété avec une petite section qui expliquerait comment les cas I fini et I quelconque sont liés en prenant la définition de produit cartésien pour un produit quelconque donnée en fin d'article et en vérifiant le cas particulier de I fini. Cela alimenterait aussi les développements qui sont faits sur les familles, point central de cet article. En pratique on peut commencer par remarquer que pour $J$ partie propre non vide de $I$ :

$\prod _{i\in I}A_{i}\sim \prod _{j\in J}A_{j}\times \prod _{k\in I-J}A_{k}$

Ceci est toujours vrai, en admettant l'axiome du choix (donc dans le cas fini c'est bon) la bijection c'est en gros (projection sur J,projection sur I-J), ensuite on prend $I=\{1,2\}$, on remarque que $\prod _{i\in \{1\}}A_{i}$ est en bijection avec $A_{1}$ bref, on a une belle bijection entre$A_{1}\times A_{2}$et $\prod _{i=1}^{2}A_{i}$
"On peut généraliser la notion de produit cartésien à celle de produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble quelconque, fini ou infini." ... chose promise, chose dûe !

Source : J.Dieudonné Éléments d'Analyse I

--SheldorII (discuter) 18 avril 2014 à 01:53 (CEST)

Fait, Anne (discuter), 4/5/14 à 13h

Somme disjointe

Ce §, ajouté le 8/11/4, est à mon avis à transvaser (en harmonisant) dans l'article Réunion disjointe, créé le 7/11/9. Anne, 4/5/14

Fait. Anne, 14/4/16

Choice sets, symboles de fonction

Le vocabulaire "ensemble choix" ne provient pas de moi, c'est une traduction de l'expression anglaise "choice set". J'admets que pour sourcer je suis nul, mais j'estime que je n'ai rien dit de compliqué qui nécessite une citation de Cantor. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 09:32 (CEST)

Je réagis aux diverses modifications qui ont été annulées, vu que l'annulation est contestée d'après l'historique : le changement de notation pour les couples ne justifie rien en lui-même, le fait est qu'il n'est pas employé, aucune raison de l'introduire ; on ne peut pas se passer de définition par récurrence (dans le meta-langage) pour généraliser aux n-uplets en itérant le couple, et d'une démonstration par récurrence pour montrer la propriété (ce n'est pas un changement de notation qui peut y changer quoi que ce soit) ; définir un produit sans qu'on sache a priori ce que sont censés être les éléments de celui-ci et en quoi ça justifie de l'appeler produit ça n'est pas compréhensible, mais même si ça l'était, les articles de wikipedia sont là pour refléter ce qui existe dans la littérature, et qui est relativement consensuel, pas ce qui serait possible. Proz (discuter) 28 juin 2021 à 15:21 (CEST)

Monsieur, il ne s'agit pas d'une notation mais d'un enrichissement du langage des ensembles avec des symboles de fonction dont les interprétation sont définis par des formules du langage des ensembles.

C'est cette petite chose qu'il me semble difficile de vous communiquer ainsi qu'à Monsieur Dfeldman.

Je n'ai pourtant pas inventé ce processus qui est parallèle à celui d'inventer des notations (ce dernier est beaucoup plus connu mais beaucoup moins rigoureux). Si vous notez p le symbole de couple alors pour tout ensemble a et tout ensemble b pab est un terme paramétré du nouveau langage et son interprétation donne le couple (a,b). Du coup définir les uplets par itération devient simple, par exemple pour 5 ensembles a b c d e, on obtient ppppabcde. C'est la façon la plus rigoureuse et efficace de procéder.

Bien cordialement — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 15:45 (CEST)

juste pour être clair, je précise qu'on peut bel et bien se passer des définitions par récurrence (et c'est ce que je fais) qui en somme ne sont pas rigoureuses, en effet vous définissez des "notions" par récurrence vous ne définissez pas un objet là mais une notion par récurrence, cela manque de rigueur et c'est un héritage d'une autre époque où la rigueur était inexistante. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 16:38 (CEST)

Je crois que vous proposez deux choses différentes :

• un passage à une notation préfixe pour les couples, qui n'est ni plus ni moins rigoureuse (au passage ça revient à conserver juste la parenthèse ouvrante, et ça suffit sous certaines conditions), juste pas utilisée, nous ne sommes pas ici pour faire évoluer la pratique (et à mon avis il y a de bonnes raisons, pas seulement historiques, pour que la notation standard ne soit pas minimaliste, mais on ne va pas en discuter ici) ;
• utiliser un langage évolutif, et donc une théorie évolutive également, si je comprends bien, en ajoutant directement à la syntaxe de nouveaux éléments, avec forcément les axiomes afférents à ajouter à la théorie, plutôt que de définir de nouvelles notations de façon externe à la théorie, tels que celle pour les couples, quand on a une propriété d'existence et d'unicité.

Il y a une façon de passer de l'un à l'autre, assez connue en logique, qui est la notion d'extension par définition. Mais inutile de se lancer là dedans. Tel quel, les nouvelles notations étant vues comme des "abréviations" de termes du langage d'origine, qui n'est donc pas modifié, c'est tout à fait rigoureux et très usuel, surtout en théorie des ensembles (où les termes sont réduits aux variables !). Les deux choses sont indépendantes (on pourrait très bien ajouter la syntaxe habituelle des couples au langage par exemple, ça s'est fait historiquement je pense, l'intérêt d'un langage minimal ce sont par exemple les preuves de cohérences relatives, car dès qu'il s'agit de raisonner sur la théorie on ne veut pas de multiples cas à gérer).

Mais la principale objection est que vous vous méprenez sur ce que sont les articles de wikipedia, qui n'est que de refléter l'existant. Proz (discuter) 28 juin 2021 à 16:51 (CEST) PS. Pour la définition par récurrence (j'ai ajouté une source au passage) : on ne peut pas y échapper, vous croyez y échapper par la notation pⁿ ce qui n'est justement pas du tout rigoureux. Ce n'est pas une notion mais une notation qui est définie par récurrence (pour être plus rigoureux, vous définissez par récurrence l'expression y =(x_1, ... , x_n) comme une expression du langage de la théorie des ensembles (avec y x_1,..., x_n) comme variables libres), et ça suffit. Mais on ne va pas rentrer dans ces détails, ne serait-ce que parce que les sources ne le font pas, de mémoire voir Levy Basic Set theory qui explique plus en détail comment faire en général, pas pour ce cas particulier). Proz

Chers monsieur, il y a une subtilité dans ce nouveau langage et son interprétation dans l'univers, tout est fait de telle sorte que les définissables de l'enrichissement de l'univers sont exactement ceux de l'univers avec son langage minimaliste. Aucun axiome n'est ajouté, on a juste un langage plus riche avec les mêmes définissables qu'au départ. et p^n est le mot du monoïde libre de base le nouveau langage de longueur n et dont chaque terme est p (autrement dit l'application de l'ordinal n vers le nouveau langage constante de valeur p). C'est rigoureux.

Une application de l'univers, vers le langage de la théorie... Ça n'évite pas le problème mais peu importe, vous sortez du cadre usuel de la logique du 1er ordre (et il y a forcément des questions de cohérence à résoudre pour ce genre de choses, voir paradoxe de Berry). En tout cas c'est tout à fait clairement hors sujet sur cet article. Pour moi ça clôt la discussion : le but de cette page est d'améliorer l'article pas de discuter librement de choses manifestement non standards. Proz (discuter) 28 juin 2021 à 17:35 (CEST)

Monsieur vous donnez des mauvaises interprétations à ce que je dis, je n'ai à aucun momment parlé d'une application de l'univers vers le langage. Je parlais de "l'ordinal" n (l'ordinal intuitif de Von Neuman) qui vit à l'extérieur de l'univers. J'étais juste en train de décrire des termes du nouveau langage, il n' y a absolument pas de paradoxe, les termes d'un langage du premier ordre vivent dans un monoïde libre dont l'ensemble de base est l'ensemble des application de source un entier de Von Neuman et de but le langage. Vous cherchez la faute à tout prix dans ce que je dis pour réfuter ce que je dis. Je suis toujours bel et bien dans le cadre de la logique du premier ordre.

Non,  Proz a raison (sans même parler de ce qu'on est très loin du cadre des pages de discussion, qui doivent servir à améliorer l'article). À quoi j'ajouterai que lorsque vous vous permettez d'expliquer à des gens qui (d'après les références qu'ils donnent) savent tout de même vaguement de quoi ils parlent que votre (???) théorie (que vous exposez sans la moindre rigueur) est meilleure, ne demande pas de récurrence, et que c'est eux qui ne font pas l'effort de comprendre, vous êtes sans doute victime de l'effet Dunning-Kruger. --Dfeldmann (discuter) 28 juin 2021 à 17:54 (CEST)

Monsieur, j'espère que vous plaisentez, la dernière remarque de Proz est sur la notion même de monoïde libre, il n'a pas compris que je décrivais seulement les éléments du monoïde libre de base le nouveau langage. Je n'ai aucun doute que Proz et vous soyez "très fort", cependant quand on a tort, on a tort, y a pas de vote. Cependant j'ai toujours beaucoup de respect pour vous deux. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 18:01 (CEST)

Pour l'effet Dunning-Kruger, je dois vous avouer que je n'y suis pas expert, je suis mathématicien, pas psi, donc je n'ai aucune compétence pour parler des notions et jargons de psi peut-être que vous pouvez en parler à des psi si vous voulez étudier la question.

Non, un mathématicien, ce n'est pas tout à fait ça. Et je ne peux que répêter (je ne le fais du coup pas sur la page de discussion de  Proz) ce que je viens de dire : notre incompétence, qui nous empêche sûrement de voir les mots « monoïde libre » écrits (dans la définition ou ailleurs) sur la page consacrée aux langages du premier ordre, ou de voir que nous avons tort et que nous n'avons rien compris (il n'y a pas de honte, mais c'est triste) relève sûrement de l'effet Dunning-Kruger : comme nous sommes incompétents, nous ne nous rendons pas compte que nous le sommes. --Dfeldmann (discuter) 28 juin 2021 à 18:21 (CEST)

Monsieur, je n'ai pas besoin d'écrire le mot "monoïde libre" pour que vous sachiez que les termes d'un langage du premier ordre vivent dans le monoïde libre de base ce même langage. Je nage en plein délire là. Wow, pourquoi vous sentez vous forcé de sortir carrément du cadre des mathématiques et de m’adresser des insultes. ça arrive à tout le monde d'avoir tort...ce n'est pas de ma faute si vous et Proz avez tort. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 18:29 (CEST)

C'est quand même fou cette histoire où deux personnes semblent proclamer qu'ils sont la personnification des mathématiques et jugent du haut de leur superbe les "petits paysans". — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 18:36 (CEST)

Mais oui, nous sommes idiots et incompétents, et grossiers en plus. Il se trouve que je l'ignorais (le coup du monoïde libre), peut-être parce que cette information est une retraduction pompeuse sans aucun apport informatif de la formule "les termes d'un langage du premier ordre sont des suites de caractères d'un certain alphabet fini" (accessoirement, c'est vrai aussi de n'importe quel langage écrit). Et en quoi diable avons-nous tort ? La récurrence (et le raisonnement par récurrence) est un phénomène banal de toute description rigoureuse d'un langage formel (le méta-langage) ; et il est impossible de s'en passer si on veut démontrer rigoureusement quoi que ce soit (cf Bourbaki Ens., I, par exemple). Bon, fin de la discussion pour moi aussi, allez plutôt exposer vos idées personnelles (ou non) ailleurs (Wikipédia n'est pas fait pour ça) et à un auditoire moins borné et méprisant que nous.--Dfeldmann (discuter) 28 juin 2021 à 18:37 (CEST)

Je suis entrain d'écrire un livre sur la théorie des ensembles, le public en question sera donc les lecteurs universitaires et vous en ferez peut-être parti. Vous me semblez très émotionnel monsieur. Cette conversation a été très bizarre. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 18:46 (CEST)

Réponse avec retard : Ah, désolé d'avoir mal interprété, mais pourquoi parler d'ordinal et d'entier de von Neumann pour les entiers "intuitifs" ? Disons que vous ne vous exprimez pas de façon très usuelle, ce qui n'aide pas. Et comme vous contestez une chose pourtant à mon avis tout à fait évidente, qui de plus est de l'ordre du détail, j'ai cru de bonne foi à quelque chose de plus ésotérique. Pour revenir au fond : je ne vois pas comment la question syntaxique (monoïde ou structure inductive un peu plus complexe comme celle de la notation usuelle des couples) aurait une quelconque importance à ce sujet. Je crois comprendre que vous allez maintenir votre point de vue, voire à nouveau affirmer, comme sur ma page de discussion, que je ne comprends pas. Dont acte. Et personne ne prétend être "très fort" (il se trouve certes que j'ai déjà réfléchi au sujet, mais on n'est pas sur des choses bien profondes), je suppose qu'il en est de même pour  Dfeldmann. Nous sommes en math. et il s'agit d'échanger des arguments compréhensibles par chacun si ça permet d'avancer pour améliorer l'article, là ça ne marche pas. Retournons aux sources : vous n'en avez pas pour votre remarque, ça n'a donc pas sa place dans l'article et nous pouvons nous arrêter là. Proz (discuter) 28 juin 2021 à 19:03 (CEST)

Ecoutez Mr Proz, l'échange avec vous a été fructueuse, et j'ai vu que vous y mettiez de la bonne volonté, sauf pour votre avant dernier message où j'ai cru que vous y mettiez de la mauvaise volonté. Je vous remercie pour vos efforts, il est fort dommage que je n'ai pas réussi à communiquer de façon suffisante l'idée en question.

Mais bon voici un très bref résumé: je ne nie pas qu'il faut de la récurrence dans les démonstrations, cependant j'affirme que pour définir le produit cartésien n-aire et le n-uplet, il n'y a pas besoin d'une définition par récurrence (récursion transfinie sur les entiers intuitifs), j'affirme même qu'il est préférable de ne pas faire de définitions de ces deux notions par récurrence. mais lorsqu'on démontre des propriétés sur ces notions, la récurrence est omniprésente.

Donc, je vous remercie pour cet échange Mr Probz (n.b: j'ai eu le bac en 2006, et bien avant d'avoir des notions en théorie des ensembles je lisais vos commentaires, donc croyez moi si je vous dis que j'ai du respect pour vous)

Bien cordialement. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 80.215.104.28 (discuter), le 28 juin 2021 à 19:23 (CEST)