Discussion:Groupe nilpotent

L'introduction ne signifie pas grand-chose

On lit dans l'introduction : "En théorie des groupes, un groupe est dit nilpotent lorsqu'il possède une certaine propriété : intuitivement, on peut penser qu'on peut rendre le groupe abélien par l'utilisation répétée du commutateur $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ ."

Si cela a un sens, cela conviendrait au moins aussi bien aux groupes résolubles. Mais en fait, cela n'a pas de sens.
Marvoir (d) 8 août 2009 à 11:35 (CEST)

La section Groupes linéaires nilpotents

La section "Groupes linéaires nilpotents" est rédigée comme suit : "On a déjà vu que $U_{n}(K)$ est un groupe nilpotent. Il possède la propriété intéressante d'être formé d'éléments unipotentsUnipotent, c'est-à-dire de la forme $I_{n}+N$, où N est une matrice nilpotente. Des théorèmes liés à la réduction des endomorphismes et aux représentations des groupes permettent de montrer la réciproque. Ceci peut être vu comme un analogue du théorème de Engel sur les algèbres de Lie.

Soyons plus précis. On montre tout d'abord que si $G$ est un sous-groupe de $GL_{n}(K)$ formé uniquement d'éléments unipotents, alors tous les éléments de $G$ sont simultanément trigonalisables. Autrement dit, on obtient que $G$ est conjugué à un sous-groupe de $U_{n}(K)$. En particulier, $G$ est nilpotent."

Pour mieux montrer quelles sont les deux propositions réciproques en question, on pourrait peut-être rédiger cette section comme suit :

"On a déjà vu que $U_{n}(K)$ est un groupe nilpotent. Il possède la propriété intéressante d'être formé d'éléments unipotentsUnipotent, c'est-à-dire de la forme $I_{n}+N$, où N est une matrice nilpotente. Il résulte évidemment de ceci que tout sous-groupe de $GL_{n}(K)$ conjugué dans $GL_{n}(K)$ à un sous-groupe de $U_{n}(K)$ est formé d'éléments unipotents. Des théorèmes liés à la réduction des endomorphismes et aux représentations des groupes permettent de montrer la réciproque, à savoir que tout sous-groupe de $GL_{n}(K)$ formé uniquement d'éléments unipotents est conjugué dans $GL_{n}(K)$ à un sous-groupe de $U_{n}(K)$. Ceci peut être vu comme un analogue du théorème de Engel sur les algèbres de Lie. La réciproque entraîne évidemment que tout sous-groupe de $GL_{n}(K)$ formé uniquement d'éléments unipotents est nilpotent."

C'est en tout cas ainsi que je comprends le texte actuel de la section, mais j'avoue que je ne connais pas cette question. Par parenthèse, une référence ne ferait pas de tort. Marvoir (d) 9 septembre 2012 à 09:13 (CEST)

Moi non plus je ne connaissais pas donc je n'osais y toucher malgré le style (« Soyons plus précis » me choque). C'est dans l'article depuis sa création.

• J'ai trouvé quelques refs (j'ai tout mis dans Théorème de Kolchin que je viens de rédiger – Anne, 20:48)
• Autre reformulation possible, plus condensée :

On a déjà vu que U_n(K) est un groupe nilpotent. Il en est donc de même de tout conjugué G dans GL_n(K) d'un sous-groupe de U_n(K). Un tel G est toujours un sous-groupe de GL_n(K) formé uniquement d'éléments unipotentsUnipotent, c'est-à-dire de la forme I_n + N, où N est une matrice nilpotente, et des théorèmes liés à la réduction des endomorphismes et aux représentations des groupes (passage biffé par Anne à 12h34) permettent de montrer la réciproque, qui peut être vue comme un analogue du théorème de Engel sur les algèbres de Lie.

Anne (d) 10 septembre 2012 à 10:44 (CEST)

Je serais d'accord avec cette reformulation, mais mon avis n'est que celui de quelqu'un qui n'a pas étudié la question, je le répète. Je dois même dire que je ne vois pas bien en quoi consiste l'analogie avec le théorème de Engel... Marvoir (d) 10 septembre 2012 à 12:29 (CEST)

Formellement, ça ressemble quand même pas mal :

Engel : Une algèbre de Lie de matrices dont tous les éléments sont nilpotents est simultanément triangularisable.

Kolchin : Un groupe de matrices dont tous les éléments sont unipotents est simultanément triangularisable.

(dans les deux cas, sur tout corps commutatif, contrairement aux théorèmes de Lie et Lie-Kolchin)

Anne (d) 10 septembre 2012 à 15:34 (CEST)

OK. Marvoir (d) 10 septembre 2012 à 16:05 (CEST)

J'ai complètement changé d'avis, en créant dans Théorème de Lie-Kolchin un § Théorème de Kolchin où tout est dit, et je compte complètement effacer ici la "section Groupes linéaires nilpotents" et ajouter juste dans la "section Exemples" une parenthèse avec un lien vers là-bas. Anne (d) 10 septembre 2012 à 20:48 (CEST)

J'avais envie de le proposer, mais étant profane, je n'osais pas ! Marvoir (d) 10 septembre 2012 à 20:54 (CEST)

Idem. C'est grâce à toi. Anne (d) 10 septembre 2012 à 21:23 (CEST)

Histoire

J'évite de trop jouer à l'historien des maths dans les articles, mais peut-être qu'on peut mettre des jalons sur les pages de discussion. La notion de classe de nilpotence a été introduite par William Benjamin Fite dans son mémoire "On Metabelian Groups" (1902) d'après C. Hopkins : "Fite published his dissertation On Metabelian Groups, in which he defined the class of a group G as the number of terms in the sequence G', G'', ... , 1, where G' is the group of cogredient isomorphisms of G and each succeeding G^[i] is the group of cogredient isomorphism[s] of the preceding one." (C. Hopkins, « Finite Groups in which Conjugate Operations are Commutative », American Journal of Mathematics, vol. 51, n° 1, janv . 1929, p. 35-41, première page consultable en ligne.)

On appelait alors "cogredient isomorphism" ce qu'on appelle maintenant automorphisme intérieur, donc ce que l'auteur note G' est un groupe isomorphe à G/Z(G), donc la "class" dont il parle est bien la classe de nilpotence. Marvoir (discuter) 7 novembre 2013 à 19:50 (CET)

Demande de précision

Dans la section Définition le singleton de l'élément neutre est noté successivement {e} puis {1}. Je pense que c'est une simple incohérence de notation et je le corrigerai. Mais une confirmation serait bienvenue. J'attends donc un peu.--Bécassin (discuter) 7 août 2021 à 13:34 (CEST)