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Oups...

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Je mets ici les exemples qui font doublons :


  • Le groupe fondamental d'une sphère de l'espace euclidien   (n > 2) est trivial :  , i.e chaque lacet peut être ramené par déformation continue au point p.
  • Le tore décrit dans l'introduction a un groupe fondamental isomorphe à  . Plus généralement, le groupe fondamental du tore n-dimensionnel est isomorphe à  .
  • Le plan bidimensionnel privé d'un point, par exemple   a pour groupe fondamental  . La classe d'homotopie d'un lacet est en fait caratérisée par le nombre algébrique de rotations autour de l'origine O effectuée par le lacet.
  • Le plan bidimensionnel, que l'on prive cette fois de deux points A et B, a un groupe fondamental isomorphe à   : c'est le groupe libre engendré par les deux lacets qui tournent respectivement autour des points A et B.
  • On montre que chaque groupe G est le groupe fondamental d'un espace topologique X pour point de départ un point  .

Le mot "donut"

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est un anglicisme venant du mot "doughnut" (le "dough" veux dire pâte en anglais). Le mot "beignet" me semble meilleur.

Une relecture

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Le texte me semble bon à beaucoup d'égards, mais encore un peu améliorable. Pour trouver des idées, cherche sur le net les textes sur le même sujet et j'essaie de trouver celui qui me plait le plus. Pour l'instant c'est plutôt Groupe fondamental, mais pas de beaucoup. Cette référence me semble fournir quelques techniques de calcul bien utiles, pour vraiment comprendre.

Pour atteindre un niveau au moins aussi bon (dans le contexte de WP), je propose d'ajouter dans l'introduction une petite partie historique qui retrace les raisons qui poussent Poincaré à étudier ce groupe, puis à expliquer pourquoi on finit par lui affubler le nom de groupe fondamental. La première partie explique pas mal comment ça marche mais pas à quoi ça sert. Je propose de développer un peu plus les concepts élémentaires comme les morphismes ou les espaces contractiles. Puis peut-être l'illustrer par le fait que la sphère Sn est contractile, cela permet de comprendre comment on utilise le groupe fondamental dans les cas un peu élémentaires.

J'imagine aussi développer plus précisément les figures, elles offrent un plus pour une compréhension aisée. Jean-Luc W (d) 18 mars 2009 à 11:43 (CET)Répondre

Merci pour tes contributions.
Comme j'ai fait la remarque, dans une correction, la sphère de dimension n supérieure ou égale à 2 est simplement connexe, mais pas contractile ; la distinction est importante. Le groupe de Poincaré est fondamental car il a énormément d'applications, mais je pense qu'il ne faudrait pas rallonger la page par trop d'applications. La démonstration du groupe fondamental du cercle est essentielle et mériterait presque une page à elle seule. Les applications du pi_1 du cercle (degré) sont très nombreuses, mais je pense qu'il faudrait se limiter au seul exemple du théorème de Brouwer et renvoyer les autres applications à d'autres pages et juste les citer. Je vais relire le livre de Dieudonné sur l'histoire de la topologie algébrique, pour voir quelle était sa première utilisation, sans oublier que dans le même article, Poincaré introduisait les groupes d'homologie. Une de ses idées étant de remplacer des nombres (nombres de Betti, caractéristique d'Euler) par des groupes, dont les rangs sont ces nombres, ce qui permet d'introduire la torsion (éléments d'ordre 2 par exemple).Il sera instructif de détailler le plan projectif ( ) ou le groupe des rotations SO (3).
Pour la bibliographie, j'ai les livres de Godbillon (très complet), de Zisman (plus abstrait), de Douady (encore plus abstrait, mais avec la démonstration générale de Van Kampen).--Cbigorgne (d) 18 mars 2009 à 12:38 (CET)Répondre

Les sphères contractiles ? C'étaient peut-être légèrement optimiste, je crois que nous réserverons ce type d'affirmation pour une autre version de WP (celle de l'année 3012). Merci du rappel et désolé pour l'originalité. Mes sources, c'est Douady et le Hatcher. J'imagine que le Godbillon doit être très bien.

Je partage bien ton idée, si l'on met trop d'exemples, on alourdit la page et on perd la vision d'ensemble de l'article, ce qui est dommage. D'un autre coté, sans exemple, l'intérêt ou la compréhension de l'idée de groupe de Poincaré est difficile à saisir. Je te propose d'ajouter dans cet article, un topo plus précis sur les équivalences d'homotopie, développer un peu les espaces contractiles. J'imagine traiter aussi la simple connexité des sphères et le théorème de d'Alembert-Gauss. En fait, trois possibilités s'offrent à nous, traiter les différents thèmes dans l'article, dans des articles connexes et ne pas les traiter du tout. Je n'agirais pas avant ton feu vert. Jean-Luc W (d) 18 mars 2009 à 15:06 (CET)Répondre

On dispose d'un article Connexité simple, où devrait se situer tout ce qui concerne les exemples d'espaces simplement connexes, comme les sphères, et la relation entre espaces simplement connexes et espaces contractiles, pour ne pas allonger l'article groupe fondamental. Dans l'article groupe fondamental, on devrait se concentrer sur les espaces qui justement ont un groupe fondamental non trivial et simplement remarquer dans un paragraphe qu'ils ne peuvent pas être homotopiquement équivalents à un point.--Cbigorgne (d) 19 mars 2009 à 09:40 (CET)Répondre

Tes idées sont sagesse. Je propose de transférer la convexité simple d'un convexe d'un espace euclidien dans l'article idoine, ainsi qu'insérer celle de Sn. En train d'énergie, j'imagine que c'est là aussi que l'on devrait trouver la démonstration du théorème de d'Alembert (et un lien dans l'article théorème de d'Alembert-Gauss indiquant que la démonstration s'y trouve). Une fois cette étape franchie, on pourra toujours réfléchir sur le meilleur endroit pour placer l'étude du cercle. Je comprend ton idée de garder un article synthétique et plutôt exhaustif, et de jouer sur les liens pour l'enrichir d'exemples accessibles qui simplifient la compréhension pour le profane. Jean-Luc W (d) 19 mars 2009 à 10:32 (CET)Répondre

Illustration

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Dans le paragraphe Classe d'équivalence de lacets, il est question de lacets et il est fait référence au dessin suivant, en disant « deux lacets sont dit homotopes si l'on peut passer continument de l'un à l'autre, à l'image de [cette] figure. » :

 

Or je n'ai pas l'impression que le dessin corresponde vraiment au contexte : je vois des chemins, mais point de lacets. 81.51.214.220 (d) 29 décembre 2009 à 18:31 (CET)Répondre

Tout à fait d'accord, c'est une homotopie de chemins dont il s'agit sur la figure. Il faut supprimer la figure et l'expression à l'image de [cette] figure.--Cbigorgne (d) 29 décembre 2009 à 19:39 (CET)Répondre
On peut aussi remplacer la figure par la suivante :
 
--Cbigorgne (d) 29 décembre 2009 à 19:42 (CET)Répondre

Autre Illustration

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il me semble que la figure donnant le concaténé de deux lacets est incorrecte.

 
Concaténé de deux lacets

. On ne voit pas le résultat de la concaténation (un lacet qui devrait faire simultanément un tour équatorial et un tour austral-boréal). Peut être n'ai-je pas compris ?

Bonjour,
Dans le cas du tore, le résultat de la concaténation est le premier lacet (a) suivi du second lacet (b). On ne parcourt pas les deux simultanément. Modulo une homotopie cela s'identifie à la « réunion » des deux lacets. Dans le cas du tore, ab est homotope à ba, donc, l'ordre n'a pas d'importance pour le tore.
--Cbigorgne (d) 22 mai 2010 à 09:47 (CEST)Répondre
Merci,
effectivement à la relecture j'ai vu que le parcours des 2 lacets se fait successivement et non simultanément.
L'opération "en simultané" a-t-elle un nom particulier en topologie algébrique ? (petit détail technique : pouvez vous m'indiquer comment indenter une réponse ?)
--bécassin 22 mai 2010 à 09:52 (CEST)Répondre
Bonjour,
pour indenter on rajoute des «
» (autant que nécessaire) devant chaque paragraphe que l'on écrit.
--Cbigorgne (d) 22 mai 2010 à 10:15 (CEST)Répondre
Merci,
ma question n'avait effectivement pas de sens puisque je me rend compte que la concaténation en simultané ou successivement revient au même. Bonne journée.
--bécassin 22 mai 2010 à 10:29 (CEST)Répondre

Groupe fondamental et théorie des revêtement

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dans cette rubrique il est dit : "En théorie des revêtements, on montre que si l'espace admet un revêtement simplement connexe (en particulier si l'espace est semi-localement simplement connexe c'est-à-dire si l'espace n'est pas trop "sauvage", par exemple s'il est localement contractile) que le groupe fondamental est isomorphe au groupe des automorphismes d'un revêtement universel". La phrase n'étant pas grammaticalement correcte (conjonction "que" en trop) il faut la corriger mais je ne suis pas sûr de bien la comprendre. Est-ce correct de la remplacer par : "En théorie des revêtements, on montre que si l'espace admet un revêtement simplement connexe (en particulier si l'espace est semi-localement simplement connexe c'est-à-dire si l'espace n'est pas trop "sauvage", par exemple s'il est localement contractile) son groupe fondamental est isomorphe au groupe des automorphismes de son revêtement universel"

--bécassin 29 mai 2010 à 17:14 (CEST)Répondre

Bonsoir,
effectivement, un des « que » est en trop.
Une note : on peut parler du « revêtement universel pointé » car il est « unique » ; mais si on omet de spécifier un point base, « deux revêtements universels sont isomorphes, mais pas de façon unique. Pis encore, il n'y a pas de façon naturelle de choisir un isomorphisme, de sorte que l'on ne peut pas identifier tous les revêtements universels de B entre eux, ni dire « le revêtement universel de B ». » (citation de A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes). C'est pourquoi la formulation parle d'« un revêtement universel »--Cbigorgne (d) 29 mai 2010 à 19:25 (CEST)Répondre
Merci, je modifie en conséquence
--bécassin 29 mai 2010 à 17:14 (CEST)Répondre
tiens ? cékoi ce binz avec les heures CEST ? Anne Bauval (d) 29 mai 2010 à 21:49 (CEST)Répondre

Topologie compacte-ouverte

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Je viens d'y sourcer la proposition sur laquelle je m'appuyais pour supprimer ici l'hypothèse métrisable et localement compact, qui a été remise. Pourtant elle dit bien, sans aucune hypothèse sur X, que Top([0,1]×S1,X)=Top([0,1],CO(S1,X)) et idem en remplaçant [0,1] par un point. Anne (d) 21 février 2013 à 08:05 (CET)Répondre

Bonjour Anne, tu as raison, ma référence Elements de topologie algébrique de Godbillon, p. 68-69, montre que seule compte la locale-compacité de l'espace de départ S1. Celle de l'espace d'arrivée n'intervient pas. Amicalement--Cbigorgne (d) 21 février 2013 à 10:38 (CET)Répondre

Notions de vitesse, de rapidité ou de temporalité quel rapport avec le sujet de l'article ?

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Bonjour, suite à mon questionnement et à cette modif remplaçant "vitesse" par "rapidité", je ne comprends toujours pas la signification dans cet article de ces notions même à titre informel. Précisément dans la phrase actuelle de l'article Intuitivement, c'est le lacet qui parcourt f puis g (chacun deux fois plus rapidement, pour arriver à parcourir le lacet en un temps unité) je ne comprends pas du tout ce que la précision mise entre parenthèses évoque. Merci à   Dfeldmann : ou à d'autres qui auraient des lueurs d'expliquer ici, ou encore mieux dans l'article. Cordialement --Epsilon0 ε0 12 avril 2019 à 20:51 (CEST)Répondre

Pour des raisons techniques il est commode de travailler avec des lacets paramétrés par [0,1]. Du coup, la concaténation oblige à reparmétrer. Lleuwen (discuter) 12 avril 2019 à 21:54 (CEST!

D'accord, mais [0, 1] me semble plutôt être une unité spatiale que temporelle. --Epsilon0 ε0 13 avril 2019 à 19:08 (CEST)Répondre
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