Discussion:Fraction rationnelle

A propos de l'ordre sur le corps des fractions rationnelles sur $\mathbb {R}$.

En lisant l'article qui traite de la définition d'un ordre sur le corps $\mathbb {R} (X)$ qui en fait un corps ordonné, j'ai une question pour qui peut me répondre : il est écrit que par définition on a $F\preceq G$ si $F(t)\leq G(t)$ pour " t assez grand ". Donc pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ on a $X-n\succeq 0\Rightarrow X\succeq n$ et puisque n > 0 on a ${\dfrac {1}{X}}\preceq {\dfrac {1}{n}}$ d'où ${\dfrac {1}{X}}\preceq 0$ et puisque ${\dfrac {1}{X}}\neq 0$ on a ${\dfrac {1}{X}}\prec 0$. Ce résultat est contraire à ce que je lis dans l'article : $0\prec {\dfrac {1}{X}}\prec 1$. (ici je distingue les écritures $\preceq$ et $\leq$ selon que je suis dans $\mathbb {R} (X)$ ou dans $\mathbb {R}$). Il se peut que je me trompe dans mon raisonnement et je vais continuer à réfléchir à l'ordre dans $\mathbb {R} (X)$.

--Lanh (d) 8 avril 2011 à 15:05 (CEST)

Je pense que ton erreur est dans le passage à la limite quand tu dis « puisque n > 0 on a ${\dfrac {1}{X}}\preceq {\dfrac {1}{n}}$ d'où ${\dfrac {1}{X}}\preceq 0$ ». Cette propriété est valable dans $\mathbb {R}$ mais tu ne peux pas sans précaution l'employer dans $\mathbb {R} (X)$. C'est ce que dit justement la section Cette relation d'ordre n'a pas les bonnes propriétés. En particulier, elle ne fait pas de $\mathbb {R} (X)$ un corps archimédien et ne permet pas le passage à la limite. HB (d) 8 avril 2011 à 15:24 (CEST)

Merci pour ta réponse. Effectivement, je ne crois pas qu'un passage à la limite soit approprié puisque je ne suis pas dans $\mathbb {R}$. Donc si je comprends bien, il y a un " trou " entre 0 et $\mathbb {R} _{+}^{*}$ dans lequel on trouve ${\dfrac {1}{X}}$ et bien d'autres éléments comportant X. Il reste à montrer que cette relation fait bien de $\mathbb {R} (X)$ un corps ordonné ce qui ne me paraît pas simple.

--Lanh (d) 9 avril 2011 à 12:05 (CEST)