Discussion:Fonction exponentielle

Ce qu'il reste à ajouter :

il y a deux lemmes fondamentaux dans les exponentielles de matrices, à propos de limites quand n tend vers $+\infty$; justement pour le cas où les matrices ne commutent pas... Ca sert notamment à prouver que le crochet de Lie passe à l'exponentielle ou quelque chose comme ça; et l'autre sert pour prouver Cartan-VonNeumann dans le cas des sous-groupes fermés d'un $GL_{n}$... (de mémoire)

Snark 15:42 mar 16, 2003 (CET)

Erreur ?

Il est dit que f telle que f(x+y)=f(x).f(y) est une fonction strictement positive d'après f(u)= [f(u/2)]^2 .

Alors que cette relation n'assure que le positivité 'large' de f(x). Il faudrait écarter, me semble-t-il, la possibilité que f(u)=f(u/2)=0.

Tu as raison. Mais cette possibilité est écartée dès le départ puisqu'on parle d'une fonction continue à valeurs dans R* (et non dans R). HB (d) 7 mars 2009 à 08:30 (CET)

Au temps pour moi. C'est juste qu'au lycée, on nous habitue plutôt à la caractérisation par sa relation fonctionnelle et par f(0)=1. Et on déduit ensuite la stricte positivité. Mais cela revient au même, je suppose.

ajout

e peut etre aussi definie comme le nombre où le maximum de la fonction x^(1/X) est atteint

Equation différentielle

Il vaut mieux mettre le paragraphe concernant l'exponentielle complexe avant les équadiff. D'autre part, pour celles-ci, l'utilisation à la fois de a et b dans a^{bx fait double emploi, puisque ab aurait pu être renommé a. Par contre, il vaut mieux considérer λeax qui est la solution générale de l'équa diff y' = ay. Theon 23 déc 2004 à 11:23 (CET)}

Série exponentielle

La notion de série exponentielle n'a pas de sens dans un espace vectoriel normé ; la structure d'algèbre est indispensable. Vivarés 14 novembre 2005 à 15:31 (CET)

Ajout dans approche vulgarisée

J'aurais bien vu comme propriété remarquable dans l'approche vulgarisée que l'exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée, mais c'est peut-ête un point de vue de physicien? C'est en tous cas le sens qu'a le terme dans les expressions courantes de "croissance exponentielle"; le reste de l'article est complet mathématiquement, mais les bases diverses de l'exponentielle et les algèbres de Banach c'est pour les matheux; pour les autres on pourrait peut-être expliquer les propriétés de l'exponentielle par comparaison avec les fonctions polynômiales par exemple? Sprinteur 15 mars 2006 à 15:13 (CET)

Simplification et organisation

Serait-il possible de faire des explications simples en ce qui concerne les math sur wiki ? Presques tous les sujets de math sont imbitables (incomprehensible ;-)

Est-il nécessaire d'en venir a des considérations de relativité générale pour expliquer ce qu'est une addition ? Dire "morphisme continu" a quelqu'un qui veut juste savoir ce que sont les exponentielles, c'est à le dégouter de revenir.

Par exemple, ne serait-il pas possible d'expliquer simplement dans une premiere partie que la notation exponentielle permet de représenter de facon compacte une suite de nombres égaux multipliés entre eux. 5 * 5 s'écrit 5 ^ 2 ou exp5(2) On pourrait ensuite préciser qu'une fonction exponentielle a telle forme et ses limites en ceci-cela avec un beau graphe (il y est, c'est cool). En seconde partie donner la définition et des exemples en langage mathématique classique (c'est à dire chiant) Et dans une troisième le reste (morphisme continu et compagnie ;-).

Ceci n'est pas propre a ce sujet mais à tous ceux de math, si on ne le connait pas d'avance (et encore) on ne comprend rien. ce commentaire non signé a été ajouté par Phil (d · c · b) le 26 février 2007

Très juste wikipedia n'est pas un forum pour mathématiciens professionnels mais un forum où les matheux doivent expliquer les maths aux non matheux ou à la rigueur aux matheux amateurs. Or cet article est un mélange de choses absolument incompréhensibles pour l'amateur et d'évidences. L'appproche vulgarisée est compréhensible mais un peu rapide comme si elle ne valait pas la peine d'être développée. Il eut été intéressant de rappeler que les propriétés de l'exp proviennent du fait qu'elle est la réciproque du log.

La définition par le morphisme continu est imbitable c'est quoi un morphisme?

la définition par l'éq dif est plus abordable, que viennent faire les groupes de Lie?

La suite est plus facile : déf par les séries ok. Quant aux propriétés, on est revenu à de l'élémentaire. Donc à quel niveau se situe-t-on? est ce math élem? math sup? ou l'agreg?

ce commentaire d'une Ip a été ajouté le 10 novembre 2008

Il est vrai que l'article oscille un peu trop entre des niveaux élémentaires et des niveaux plus théoriques. C'est souvent inévitable dans un sujet aux ramifications aussi importantes que la fonction exponentielle et avec des contributeurs aux préoccupations universitaires. Je crois que c'était la préoccupation d'Ektoplastor quand il a opéré sa refonte "montrer comment une définition élémentaire a des ramification importantes dans le supérieur" mais visiblement cela ne passe pas. Cependant a tâche de révision sera difficile. HB (d) 11 novembre 2008 à 09:51 (CET)

bon, j'ai tenté une refonte en présentant d'abord les préoccupations sur les fonctions exponentielle réelles; le niveau est alors de fin de terminale début supérieur. La représentation de la fonction complexe est déjà plus ardue, les trucs sur Lie et Riemann j'avoue ne pas maitriser suffisamment pour faire autre chose que de citer ektoplastor. Les applications sont nombreuses mais l'article est déjà un énorme pavé.... à relire. HB (d) 11 novembre 2008 à 16:14 (CET)

Haha!

Je crois bien que exp(0) = 1 que ce zero soit complexe .. ou pas. Y a il une raison valable pour placer cette propriété sous l'intitulé "Exponentielle en nombres complexes ?"

J'ai trouvé e^x= Somme(1+ ((x^O)/(O!))) où O est l'ordre de précision. Est-ce utile ? et si oui comment utiliser O ?

A propos de la définition de la fonction exponentielle :

La définition qui est donnée me paraît tirée par les cheveux. En fait, il faut partir de 2 hypothèses :

1) On cherche une fonction f (autre que la fonction nulle) définie sur R telle que pour tout couple de réels (a; b) on a : f(a + b) = f(a).f(b)

2) Cette fonction f est dérivable sur R.

A partir de là, on construit effectivement cette fonction. Si on ne suppose pas la deuxième hypothèse de dérivabilité, le problème est peut-être insoluble (?)

L'hypothèse 1) implique par exemple que f(0) = 1. En effet f(a + 0) = f(a) d'une part et f(a + 0) = f(a).f(0)d'où f(a) = f(a).f(0). En choisissant a tel que f(a) différent de 0 on a f(0) = 1.

Lanh 16 janvier 2007

Il existe plusieurs définitions équivalentes de l'exponentielle, mais certaines en permettent des généralisations, aussi appelées exponentielles :

• Comme tu l'as dit, l'exponentielle est un morphisme continu de groupes f:R->R^*. Cette définition est unique à composition près par un automorphisme continu du groupe additif R. La continuité de f implique sa dérivabilité (effectuer un produit de convolution) ; en dérivant l'identité f(x+y)=f(x).f(y) par rapport à y, on trouve une équation différentielle ...
• Justement, c'est la deuxième définition : f est une application dérivable vérifiant l'équation différentielle : f '(x)=f(x).f '(0). On impose f '(0)=1.
• La troisième définition est celle dans l'article actuel, sous forme de série. En réalité, cette série vient de la résolution de l'équation différentielle ci-dessus, en utilisant la méthode des séries entières (on suppose que la solution est analytique au voisinage de 0 et y vérifie l'équation ; de fait, elle devra vérifier l'équation sur son domaine de définition pour des raisons d'analyse).

Cette dernière définition a l'avantage de se généraliser dans les algèbres de Banach an analyse fonctionnelle, ou pour définir l'exponentielle d'un nilpotent en algèbre. La seconde définition se généralise en théorie des groupes de Lie, et en géométrie riemannienne ; la première se généralise en théorie des groupes topologiques, dont groupe topologique.

Je réarrangerai dans quelques jours l'article.

Bonne continuation,

Ektoplastor 16 janvier 2007 à 18:36 (CET)

Mon idée ici est de définir l'exponentielle réelle avec le moins de "savoir" possible pour rester compréhensible tout en restant rigoureux et exhaustif dans les démonstrations (Je ne sais pas si c'est toujours possible). Il y a des années, j'avais étudié cette question à la préparation au CAPES et il faut que je trouve le temps d'y réfléchir à nouveau.

Lanh 16 janvier 2007

Je t'ai donné la réponse. Quelques se trouvent dans l'article que je viens de modifier en conséquence. Définir l'exponentielle comme morphisme continu ou mesurable ou borné sur un ensemble non négligeable, c'est bien. Malheureusement, ça ne la définit pas de manière unique. Mais tu avais raison : la présentation laissait à désirer, j'ai fait ce que j'ai pu pour la rattraper ! Ektoplastor 16 janvier 2007 à 21:34 (CET)

Démonstration existence de la fonction exp

je suis tombé sur cette phrase en lisant l'article : "En supposant admise l'existence d'une fonction g vérifiant" ; or pourquoi faudrait-il l'admettre (d'autant qu'on peut démontrer l'exxistence de la fonction par exemple en passant par la limite des suites adjacentes u_n=(1+(x/n))^n et v_n=(1-(x/n))^-n.

Note : il est vrai qu'on peut lire au-dessus "L'existence d'une telle fonction provient de la possibilité de prolonger par continuité une fonction définie sur Q à une fonction définie sur R en conservant ses propriétés algébriques. La construction prouve l'unicité de la fonction vérifiant l'équation fonctionnelle", mais bon... Luc (d) 22 décembre 2010 à 18:10 (CET)

Tu n'as pas tort... L'idée était de montrer que l'exponentielle avait plusieurs points d'entrée et, pour la cas de l'équation différentielle, de rester "abordable" en se calant sur un niveau TS (présentation de l'exponentielle dans les programme en France depuis 200?). Avec le recul, je ne sais pas si c'était une bonne idée. Un motivation historique aurait mieux valu qu'une motivation pédagogique. Quant à l'idée de prouver l'existence par l'étude des suites adjacentes que tu évoques, cela me semble exclu dans wikipédia (démonstration trop longue qu'il faudrait en plus compléter par la démonstration que la fonction limite est bien dérivable et de dérivée égale à elle même par un théorème liant dérivée de la limite et limite des dérivées...). Du coup je ne sais pas quoi faire, ajouter l'exponentielle comme limite de (1+x/n)^n rendrait la version "solution de l'équation différentielle" moins accessible, gagner en rigueur pour perdre en accessibilité c'est dommage. Ce qui nous sauverait serait de trouver des textes historiques qui présenterait l'approche equa diff sans se questionner sur l'existence. Mais je en sais pas si cela existe. On peut peut-être tourner la difficulté en écrivant que l'on peut prouver l'existence d'une telle fonction sans le faire mais ce n'est pas top non plus.HB (d) 22 décembre 2010 à 19:36 (CET)

Personnellement je penses que la démonstration de l'existence dans un bandeau déroulant en vaut la peine... (De plus c'est largement faisable en T°S, la démonstration est faite en entier sur ce site : ce n'est pas extrêmement long...) Enfin je pense que ce n'est pas génant que cette démo ne soit pas lisible pour tous dès lors qu'elle est dans un bandeau déroulant (on en a des bien pires sur wikipedia : par exemple le cas n=3 ici prends une bonne place une fois déroulé : Démonstrations du dernier théorème de Fermat).--Luc (d) 31 décembre 2010 à 19:18 (CET)

Merci pour ce lien fort intéressant. Cependant, je continue à trouver la démonstration trop longue pour figurer dans une article encyclopédique (cela a plus sa place dans un livre de cours). Je propose de supprimer le "on admet que" et de le remplacer par "on démontre qu'il existe une solution au problème" en en donnant seulement les grandes lignes : existence, pour tout x, de deux suites adjacentes convergeant vers un nombre que l'on appelle f(x). Vérification que la fonction ainsi créée est dérivable de dérivée elle-même. En mettant le lien que tu donnes comme source du résumé de la démonstration, on permet au lecteur curieux de se documenter davantage tout en restant relativement synthétique dans l'article. HB (d) 3 janvier 2011 à 18:20 (CET)

Il est en effet bien possible que ce que vous dites soit le mieux que l'on puisse faire... (à moins sinon, pourquoi pas d'aller jusque créer une nouvelle page consacrée uniquement à la démonstration de l'existence et de l'unicité de la fonction expo (mais est-ce conforme aux règles de wikipédia ?). Merci pour vos réponses--Luc (d) 3 janvier 2011 à 20:58

Je me pose le même genre de questions, du point de vue Wikiversité : quoi dire, et où ? Du coup j'ai comparé les programmes de TS de 2001 (2002) et de 2011 (2012). Cf. par exemple en 2001 (époque où l'on pouvait encore espérer un minimum de rigueur et de cohérence dans la progression prescrite) le croustillant : « L’existence [de la fonction exp telle que exp'=exp et exp(0)=1] sera […] établie ultérieurement à l’occasion de la quadrature de l’hyperbole » — alors qu'on ne dit strictement rien sur la réciproque d'une bijection continue ou dérivable. Anne 29/5/17 14 h 05

Traduction??

Je suis tombé sur la phrase suivante à l'instant :

« Pour d'autres représentations de l'exponentielle à base e, se référer à l'article en anglais de wikimedia commons. »

Pourquoi ne pas demander une traduction (y a-t-il une raison à ne pas en demander est ma question... ;) )--Luc (d) 31 décembre 2010 à 19:24 (CET)

je crois que tu confonds avec en:wiki. Sur Commons sont regroupés toutes les images, vidéos ou enregistrements sonores susceptibles d'illustrer un article. Il existe de nombreuses représentations (dessins) de l'exponentielle complexe. Pour souci d'équilibre, on n'en a sélectionné que six (c'est déjà beaucoup à mon gout), on renvoie donc vers commons pour les autres dessins. HB (d) 3 janvier 2011 à 18:13 (CET)

En effet ! Désolé... Sinon ne pourrait-on pas expliquer un peu plus ces représentations assez peu compréhensibles, par exemple en créant un nouvel article, en effet il est peu pratique pour le lecteur d'avoir à lireun article en angalis pour avoir des précisions supplémentaires ?--Luc (d) 3 janvier 2011 à 20:55 (CET)

Les fonctions exponentielles vs LA fonction exponentielle

En voulant pointer sur cette page pour parler de ce qu'on appelle généralement LA fonction exponentielle (la fonction exp), je m'aperçois que l'intro ne la différencie pas des autres. Cependant, en parler dès l'abord nécessiterait de parler de base donc de définir ce qu'est une base bref cela devient très compliqué. Quelqu'un a-t-il une idée pour que soit mise plus en évidence la fonction exp appelée communément fonction exponentielle (et non fonction exponentielle de base e) ? HB (d) 23 janvier 2011 à 09:45 (CET)

C'est rigolo en effet, j'ai ouvert des interwikis et notre article n'a pas du tout la même tête que les autres, et je ne crois pas que ce soit à bon escient. Bien que je n'aie vu faire ça par aucune des wikipédias des langues voisines du français - une recherche Google sur exponential in base puis exponential of base me laisse supposer que tout simplement on n'y accorde pas la même attention hors de nos frontières qu'ici (ou que j'ignore le terme anglais canonique pour parler de ça) Ajout : exponential with base semblait le bon plan, mais quand même seulement 1770 résultats : ça reste confidentiel. Ma suggestion, mais elle demande du boulot, serait de reserrer le présent article sur l'unique exponentielle de base e et d'ouvrir un autre article séparé pour les exponentielles de base quelconques. Touriste (d) 23 janvier 2011 à 10:14 (CET)

Pareil. J'ai eu la même réaction qu'HB en créant la sous-ébauche exponentielle complexe, qui était un lien rouge jusqu'à hier. On peut faire ce que dit Touriste peut-être plus simplement : créer un article sur The exponentielle à partir de rien et renommer celui-ci en... en quoi, d'ailleurs ? ---- El Caro ^bla 23 janvier 2011 à 10:49 (CET)

Exponentielle de base a ? (Le choix de a est évidemment pas mal arbitraire, mais ça me semble le plus naturel et ça ne viole pas trop le principe de moindre surprise à mon sens). Touriste (d) 23 janvier 2011 à 10:51 (CET)

Et pourquoi pas exposant (mathématiques) ? Y a-t-il une différence fondamentale entre une "fonction exponentielle de base a" et "un exposant de a" variable ? ---- El Caro ^bla 23 janvier 2011 à 11:20 (CET)

Bof, l'article exposant (mathématiques) ne contient que des exposants entiers, donc pas d'analyse pour l'instant, et ce titre me semble étrange pour de l'analyse. On peut peut-être en effet envisager de rendre son autonomie au titre exponentiation, actuellement occupé par une redirection. Mais ça ne me convainc pas pleinement, si l'objectif est bien de faire un article d'analyse (on peut y mettre les graphes, les formules pour les dérivées, la construction d'une exponentielle de base a par prolongement de la fonction définie pour des exposants rationnels, je n'ai pas d'autre idée de contenu en premier jet). Touriste (d) 23 janvier 2011 à 11:34 (CET)

Je pense qu'il vaudrait mieux améliorer cet article en agrandissant son contenu (quitte à mettre en effet quelque redirection vers d'autres pages)--Luc (d) 23 janvier 2011 à 12:30 (CET)

Le problème n'est pas, à mon avis, d'agrandir le contenu de l'article mais, au contraire, de le recentrer sur ce que le lecteur s'attend à y trouver : une description de LA fonction exponentielle. Si j'ai bien compris les autres interventions, il s'agirait plutôt de couper cet article en deux :

• un article sur LA fonction exponentielle (que l'on pourrait nommer "fonction exponentielle" par exemple ?) qui reprendrait les entrées possibles, fonction dérivable égale à sa propre dérivée et prenant la valeur 1 en 0 - réciproque de la fonction ln, résultat du développement en série de x^k/k! - fonction continue transformant une somme en produit et prenant la valeur e en 1 - qui exposerait l'équivalence des définitions - et qui présenterait les prolongement possibles : exponentielle complexe, exponentielle d'une matrice, exponentielle de base quelconque avec renvois sur article détaillé
• une autre sur les fonctions exponentielles ("exponentielle de base quelconque" ou "exponentielle de base a" ou "exponentiation") avec le contenu qu'y voit Touriste et le lien entre exponentielle de base a et la fonction exponentielle.

Il nous faut donc nous mettre d'accord sur 4 points

1. un ou deux articles ?
2. si deux articles le contenu de l'un et de l'autre , si un article le plan de celui-ci
3. si deux articles le nom de chaque article
4. si deux articles, comment gérer l'historique ?

En ce qui me concerne : 1) deux articles - 2) ma proposition - 3) fonction exponentielle (avec redirect depuis exponentielle) - exponentielle de base quelconque 4) Historique dans fonction exponentielle avec commentaires en page de discussion d'exponentielle de base quelconque. HB (d) 24 janvier 2011 à 13:39 (CET)

J'approuve tout à fait la proposition (deux articles) de HB, avec mise à jour également des liens interwikis ; de plus, cela rendra de la cohérence à des liens vers "fonction exponentielle" qui, dans la plupart des cas, font en fait référence à LA fonction (par exemple, celui de application exponentielle, pour la généralisation aux algèbres de Lie et autres variétés)--Dfeldmann (d) 24 janvier 2011 à 15:06 (CET)

J'acquiesce également. L'ambivalence du titre m'avait déjà préoccupé à plusieurs reprises. Je proposerais bien « Exponentielle réelle » pour l'exponentielle sur une base réelle positive stricte, comme l'Universalis le fait (« Exponentielle et logarithme », § 3. Exponentielles réelles). LA fonction exponentielle, comme la désigne Dfeldmann, sera très bien sous le titre « Fonction exponentielle ». Ambigraphe, le 25 janvier 2011 à 21:47 (CET)

Je suis tout à fait d'accord avec vos idées. Je pense (avec Ambigraphe et HB) qu'il faudrait en effet faire de la page Exponentielle (au fait qu'est-ce qui est le mieux : Exponentielle ou Fonction exponentielle), une page plus générale qui redirigerait vers Exponentielle réelle et Exponentielle complexe. Arrêtez moi si je déforme vos propos... En tout cas une chose est sûre si la décision est prise de faire ce changement il ya aura du boulot :) --Luc (d) 26 janvier 2011 à 17:42 (CET)

En regardant ça sur la base de ta réponse, je me mets à tiquer alors qu'en lecture rapide j'avais l'impression que ça m'allait. Un article exponentielle complexe ne me semble pas poser de problème (c'est potentiellement un article-loupe d'une section de l'article principal), sans être urgent (l'article principal ne me semble pas saturé d'infos sur ce sujet pour l'instant) même s'il est paradoxal que l'article-loupe existe déjà pour l'exponentielle de matrice par exemple mais pas pour celle-ci. En revanche, le titre exponentielle réelle laisse une ambiguïté sur le programme que nous y voyons : s'agit-il de dire d'en faire un article-loupe, donc essentiellement centré sur e^x, quitte à évoquer aussi les a^x ? Ou est-ce juste une nouvelle proposition de titre pour un article consacré seulement aux quelques trucs non centrés sur l'exponentielle de base e ? Si c'est le second terme de l'alternative, d'accord pour la construction mais pas trop d'accord pour le titre (je n'aime en effet pas trop le parallélisme formel de deux titres, l'un pour un concept central des mathématiques et l'autre pour une anecdote) ; si c'est le premier, d'accord pour le titre mais pas trop pour la construction : la relégation des a^x dans un article un peu à part me semblait un choix qui faisait consensus. Touriste (d) 26 janvier 2011 à 18:01 (CET)

Non, « Exponentielle réelle » est l'expression utilisée par l'Universalis pour toute fonction de la forme x->a^x avec a réel strictement positif. Pour moi il doit y avoir un article « Fonction exponentielle » sur la fonction exp, admettant comme articles-loupes « Exponentielle complexe » et « Exponentielle de matrice », et comme articles connexes :

• un article « Exponentielle réelle » sur les fonctions exponentielle d'une base réelle strictement positive ;
• un article « Croissance exponentielle » plus didactique et orienté vers les non-matheux ;
• un article « Loi exponentielle » pour les probabilités ;
• un article « Application exponentielle » pour la géométrie différentielle...

La question que je me pose reste la redirection de « Exponentielle » : vers « Croissance exponentielle », vers « Fonction exponentielle » ou vers « Exponentielle réelle » ? Ambigraphe, le 26 janvier 2011 à 18:25 (CET)

Je suis tout à fait d'accord avec Ambigraphe... Pour sa question je répondrais bien "vers Fonction exponentielle", mais bon... (pourquoi pas une page d'homonymie sinon : cela mettrait tout le monde d'accord!)--Luc (d) 26 janvier 2011 à 18:45 (CET)

Réflexion faite plutôt une page d'homonymie redirigeant vers tout les sujets évoqués précédemmment par "ambigraphe"--Luc (d) 26 janvier 2011 à 18:46 (CET)

Donc je maintiens mon peu d'enthousiasme vis-à-vis du titre, mais aucun n'est vraiment convaincant, donc ignorez ma remarque qui n'arrivera pas à être rendue constructive et considérez que je suis d'accord. Sur le statut du titre exponentielle, il me semble que le faire pointer sur l'article concernant e^x serait une application plus rigoureuse des règles de titrage, dont je me fiche un peu, mais que par ailleurs en faire une page d'homonymie rend plus facile le contrôle des liens internes mal dirigés, ce que je trouve très important. L'un dans l'autre, je préfère donc la deuxième solution. Touriste (d) 26 janvier 2011 à 19:20 (CET)

Nous convergeons donc sur l'orientation globale. Il reste à décider du titre du second article, censé traiter a^x. Comme Touriste, je trouve le titre d'"exponentielle réelle" plutôt ambigu. Je sais que Universalis a créé un précédent mais c'était dans une section d'un article plus grand. "Exponentielle de base a" serait à mon avis préférable (si on n'est pas convaincu par mon "exponentielle de base quelconque"). D'autres avis? HB (d) 26 janvier 2011 à 20:13 (CET)

"quelconque" est très vague : de quoi parlera-t-on ? Pas d'un complexe ni d'une matrice, si j'ai bien compris. Une recherche rapide de "exponentielle de base" sur google docs montre que la grande majorité des auteurs utilise la lettre a lorsque la base est réelle. Donc va pour exponentielle de base a. ---- El Caro ^bla 26 janvier 2011 à 20:30 (CET)

La « base quelconque » ne m'emballe pas vraiment, même s'il n'y a pas vraiment d'exponentielle de base complexe ou matricielle (sauf de matrices hermitiennes définies positives, mais ne mélangeons pas les débats). La « base a » me chiffonne un peu mais les sources sont nombreuses en sa faveur. J'étais content d'avoir trouvé une dénomination référencée et qui ne fasse pas appel à un nom de variable, mais je n'irai pas défendre cette position envers et contre tous. Ambigraphe, le 26 janvier 2011 à 20:54 (CET)

Bon, j'ai opéré la cission. Mais sur un tel article c'est assez prise de tête. Il reste à gérer la page d'homonymie et cela va être coton car j'ai perdu l'outil qui aide pour corriger les liens. Je vais avoir besoin d'aide. HB (d) 16 février 2011 à 17:33 (CET)

Propriétés

Bonjour, je vois dans la partie Propriété de cette article cette égalité : e^(nx)=(e^x)^n pour tout entier n. Pourquoi ne pas indiquer qu'elle vrai pour tout réel? Merci, cordialement.

ah oui, ça ne figure pas... c'est le résultat dune scission de l'article en 2 articles différents , un ne parlant que de la fonction exp et l'autre parlant des autres fonctions exponentielles. Or , pour définir $(e^{x})^{y}$, il faut avoir défini $X^{y}$ et la propriété ne se déduit pas alors de la propriété algébrique exp(a+b)=exp(a) . exp(b). Il est vrai cependant que cette propriété mérite de figurer dans l'article. Je tente une introduction en essayant de conserver la logique de l'exposé. HB (d) 29 mai 2012 à 15:52 (CEST)

Dans les propriétés, je suis perplexe sur l'intervention de l'écriture $\left({\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)^{x}$, car elle ne fait pas intervenir la fonction exponentielle. À part ça, je suis plutôt d'accord avec la formulation de la généralisation, mais on pourrait tant qu'à faire l'exprimer à l'aide de la loi sur les puissances $(a^{b})^{c}=a^{bc}$ dès lors que la base est strictement positive. Ambigraphe, le 30 mai 2012 à 09:36 (CEST)

ne pas hésiter. HB (d) 30 mai 2012 à 11:38 (CEST)

Définition de la fonction Exponentielle par une suite

$\exp(x)=1+{\frac {x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{2}}x\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{6}}x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{6}}x\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{10}}x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{10}}x\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{14}}x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{14}}x\mid }{\mid 1}}+\cdots$

Je ne suis pas un expert en mathématiques, mais il me semble que quand on additionne puis on soustrait la même chose, ça fait 0. Or l'indication du dessus possède cette tare. Ne serait-ce pas plutôt ceci ?

$\exp(x)=1+{\frac {x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{2}}x\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{4}}x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{6}}x\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{8}}x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{10}}x\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{12}}x\mid }{\mid 1}}-{\frac {{\frac {1}{14}}x\mid }{\mid 1}}+\cdots$

Non, comme l'indique l'article, il s'agit là d'un développement en fraction continue conventionnel qu'il faut lire sous la forme

$\exp(x)=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {{\frac {1}{2}}x}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}x}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}x}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}x}{1-\quad {\text{etc...}}}}}}}}}}}}$

HB (d) 14 mars 2013 à 16:56 (CET)

Doute sur l'ajout d'aujourd'hui

Je ne comprends pas comment le théorème de Taylor suffirait à prouver que la fonction est analytique. Anne (discuter) 26 décembre 2013 à 14:14 (CET)

Oh, je crois que l'auteur voulait seulement indiquer le lien qui existe entre cette série entière et le développement en série de Taylor de la fonction exponentielle. En revanche, je me demande si l'allusion à la fonction analytique est vraiment bien venue dans la section concernant la fonction de la variable réelle. Ne faudrait-il pas transférer la remarque « L'unique solution de ce problème est par conséquent analytique. » dans la section Généralisation à d'autres ensembles - Dans le plan complexe - Définitions ? HB (discuter) 26 décembre 2013 à 15:16 (CET)

Cauchy-Lipschitz donne la série

Il est remarquable qu'en appliquant la preuve de Cauchy-Lipschitz, c'est-à-dire en construisant exp comme limite d'une suite de fonctions u_n telles que

$u_{n+1}(t)=1+\int _{0}^{t}u_{n}(t)\,{\rm {d}}t,$

on tombe, si l'on choisit pour u₀ la fonction constante 1, sur

$u_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {t^{n}}{n!}}.$

Pourtant, ça ne me semble écrit nulle part sur WP, et je ne trouve presque pas de source (exp(tA)). Anne, 6/4/16

j'en trouve quelques autres [1], évoqué aussi ici de manière didactique. En revanche, je ne comprends pas la remarque page 8 de ce document. Cette observation peut être glissée dans la partie développement en série? HB (discuter) 7 avril 2016 à 10:14

Merci pour ces liens. Je ne comprends pas non plus la remarque p. 8. Je trouve maintenant un peu plus de refs livresques grâce au bon mot clé : « successive approximations » : p. 139-140 (exp(-x)), [2] (exp(t-t₀)), [3] (exp(tA)), [4] et « approximations successives » : Godement (exp(tA)). Anne, 7/4/16

Proposition d'une autre caractérisation algébrique

Pour éviter de faire allusion à e, Actorstudio m'a fait une proposition que je transfère ici ainsi que les réponses à sa proposition:

Que pensez vous de la définition suivante :

{{Théorème|Définition|La fonction exp est l'unique fonction dérivable de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall u,v\in \mathbb {R} ,~f(u+v)=f(u)f(v)$

et dont la dérivée prend la valeur 1 en 0. -- Actorstudio (discuter) 17 avril 2019 à 00:17 (CEST)

Très bonne idée mais cette définition ne peut pas être mise à la place de la caractérisation algébrique actuelle car la continuité est une condition moins restrictive que la dérivabilité. J'ai donc ajouté une seconde caractérisation. Reste à voir la réaction des autres rédacteurs. HB (discuter) 17 avril 2019 à 07:43 (CEST)

Je dis peut-être des bêtises, mais la dérivabilité en 0 suffit, autrement dit le seul (iso)morphisme f de $(\mathbb {R} ,+)$ vers $(\mathbb {R} _{+}^{*},\times )$ tel que $\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)-1}{x}}=1$, c'est l'exponentielle (la continuité se déduisant de l'équation fonctionnelle, puisque f(x+eps)=f(x)f(eps), et qu'on a grâce à la limite la continuité en 0). Non ?--Dfeldmann (discuter) 17 avril 2019 à 07:59 (CEST)

Oui il me semble mais ce serait mieux de sourcer.HB (discuter) 17 avril 2019 à 08:44 (CEST)

Cette source te convient-elle ?--Dfeldmann (discuter) 17 avril 2019 à 09:06 (CEST)

Pourquoi pas. Je te laisse faire. HB (discuter) 17 avril 2019 à 10:38 (CEST)