Discussion:Droite réelle achevée
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Il faudrait noter que la droite réelle achevée ne constitue ni un corps, ni un anneau, pas même de groupe. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 190.135.18.235 (discuter), le 1 mai 2008.
Pas de structure de groupe possible
modifierSupposons la droite réelle achevée capable d'avoir une structure de groupe. Les infinis admettent alors un symétrique. Prenons + infini : il existe alors un A (objet dans un groupe contenant la droite réelle achevée et muni de la loi +) tel que infini + A = 0. Cela pose problème car pour tout x réel on aurait x = x + 0 = x + (infini + A) = (x + infini) + A = infini + A = 0 , ce qui est absurde.
Ce n'est donc pas un groupe (donc ni un anneau ni un corps), même en rajoutant des objets bizarres dedans. Il faut renoncer à quelque chose, par exemple le fait que tous les éléments admettent un symétrique, pour pouvoir le classifier. On peut montrer aussi que ce n'est pas un demi-anneau car 0 n'est pas absorbant (on aurait 0= 0*infini =(x-x)* infini = infini - infini = x+infini-infini= x).
On peut peut-être à la rigueur en faire un monoïde commutatif en rajoutant A = infini-infini, avec A + n'importe quoi = A (absorbant pour la loi +). --82.240.45.162 (discuter) 17 octobre 2016 à 17:42 (CEST)
Nom ?
modifierJe dois dire que je n'ai jamais entendu la terminologie "droite réelle achevée". Les seules sources en ligne que j'ai pu trouver concernant ce nom sont Wikipédia et des sites qui ont de toute évidence copié Wikipédia. Quantum Knot (discuter) 7 décembre 2021 à 11:17 (CET)
- Quantum Knot, jacques dixmier, topologie générale, puf, p59. cdt, Stefan jaouen (discuter) 28 juin 2022 à 18:27 (CEST)
Dixmier offre une présentation simple de la droite achevée
modifierDans Topo générale, puf, 1981, p.59, dixmier définit f: [-pi/2,pi/2]->Rbarre par f(x)=tan(x) si x<>-pi/2,pi/2; f(pi/2)=+oo et f(-pi/2)=-oo. Et sa présentation est ensuite bien plus claire que celle proposée dans l'article, il me semble. Par exemple, il appelle partie ouverte de Rbarre l'image par f d'une partie ouverte de [-pi/2,pi/2]. Bref, je pense qu'on pourrait utilement simplifier l'article. cdt, Stefan jaouen (discuter) 28 juin 2022 à 18:34 (CEST)