Discussion:Classe (mathématiques)

"l'absence de prise en compte de collections d'objets appelés classes, qui ne peuvent être des ensembles au sens de ZFC"

Un ensemble (de ZFC) n'est-il pas une classe ?

"et qui peuvent pourtant y être définies (exemple : la collection de tous les ensembles, qui ne peut exister selon ZFC)."

Quelle est la différence entre une classe et une collection ? Apokrif 14 fev 2005 à 19:19 (CET)

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Bonjour,

Dans la théorie ZF(C), un ensemble est définissable par compréhension (ou intension). Or une classe est la donnée d'une formule à une variable libre. Donc tout ensemble de ZF(C) est à mon sens une classe, la réciproque étant universellement fausse (et particulièrement vraie). Cela se "confirme" d'ailleurs par la caractérisation des classes dans la théorie NBG, où on ne distingue que deux espèces complémentaires (et implicitement exhaustives) : les ensembles et les univers.

Quant à la différence entre les notions de collection et de classe, j'indiquerais qu'une collection généralise tout groupement d'objets d'une théorie, en ce sens qu'elle recouvre notamment les classes. Par exemple, dans la théorie IST (analyse non standard), on relève des ensembles standard et des ensembles non standard. Par prolongement terminologique, on pourrait admettre que ces deux collections sont des classes (à mon sens à nouveau ces classes sont formulables par adjonction du prédicat caractéristique "standard" de IST). Par contre rien (pour l'heure) n'autorise à parler de classes de tous les objets d'un modèle de IST. Du coup le terme "collection" de tous ces objets s'impose d'emblée.

Bien cordialement, nha, de Lyon (France). Lyondif02 10 mars 2005, 01:33 (heure de Paris)

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Je n'ai jamais vu les classes propres appelées "univers" (par contre on appelle souvent univers les modèles de la théorie des ensembles). Y-a-t-il une référence à ce sujet ?

"Théorie des chaînes d'appartenance" : Y-a-t-il une référence également ?

Par ailleurs on n'a pas besoin d'introduire NBG pour parler de classe, juste pour en parler dans le langage de la théorie [modifié depuis]. Il me semble que NBG devrait être traité dans un autre article, comme dans la version anglaise [fait le 12/04/07]. [1][2]. Proz 10 juillet 2006 à 01:03 (CEST)

83.145.100.34 vient de remplacer "univers" par "classe propre". Je fais disparaître toute référence à "univers" dans le sens de "classe propre", qui m'est inconnu, et dont j'ai peur que ce soit un néologisme wikipedien.

Théorie des chaînes d'appartenance, pas de référence depuis juillet : pas très précis, j'essaye de comprendre, j'ai l'impression que les ensembles seraient héréditairement finis, et ce ne peut-être la théorie des classes. Il y a un passage qui prétend régler les paradoxes style Russell ou Burali-Forti par la bonne fondation (si je comprends bien), ce qui est faux (c'est la distinction entre ensemble et classe, dans un tel contexte en tout cas). Bref je supprime tout le paragraphe. Proz 23 janvier 2007 à 02:00 (CET)

Voir mon document (première partie) contenant des explications approfondies sur la notion de classe et la distinction entre les classes et les ensembles: http://spoirier.lautre.net/logique.htm --Spoirier 11 mai 2007 à 01:11 (CEST)

Théorie de Schröder

Hum ... Hum ... Je ne comprends pas comment on peut dire que "les classes de E. Schröder ne sont autres que celles de Von Neumann - Bernays - Gödel". Déjà il faudrait plutôt parler de la théorie que des objets de celle-ci. D'après ce qui suit il s'agit de ce que l'on appelle aujourd'hui l'algèbre booléenne des parties d'un ensemble (à peu près rien à voir avec la théorie NBG, en dehors du fait que ça parle d'ensemble). Je n'ai pas lu Schröder mais ça me parait cohérent avec la tradition "algèbre de la logique" issue de Boole et de de Morgan (d'ailleurs est-ce vraiment Schröder le premier à faire ce genre de choses ?). Ca ne me parait pas du tout pouvoir être mis sur le même plan que NBG (qui est une "vraie" théorie des ensembles). Il me semble que cela peut être signalé dans l'introduction, au titre des anciens usages du mot "classe", en très résumé parce que ça n'est quand même pas le sujet de l'article qui est plutôt la notion moderne de classe en théorie des ensembles. Je ne sais pas d'ailleurs où il faudrait développer le sujet ? Une section historique dans l'article ensemble ? Proz (d) 9 mars 2008 à 14:03 (CET) Précision, je ne suis pas sûr que ce qui es dit ne soit pas réducteur pour Schröder : il a un genre de calcul des prédicats il me semble (ça ne change rien sur le fond pour cet article, mais en cas de transfert). Proz (d) 9 mars 2008 à 22:45 (CET)

Après vérification dans le livre de Tarski, il s'agit bien des axiomes d'algèbres de Boole, comme spécifié dans la note citée par Tarski. Le paragraphe n'est donc pas à sa place. Proz (d) 10 mars 2008 à 21:22 (CET)

Je ne pensais pas à un article NBG-centré mais à un article sur les théories des classes en général. Deux choses m'avaient incité à cette allusion à NBG : d'une part le traitement des relations comme des classes de couples, d'autre part la remarque de Bourbaki disant que NBG permettait de "réhabiliter la classe universelle des logiciens du 19e siècle" ; mais je t'accorde que ce nétait pas très réflèchi.--Michel421 (d) 13 avril 2008 à 11:04 (CEST)

Pluralité des théories des classes

Maintenant quel est le but de cet article, sachant qu'il existe déjà un article sur NBG? Les autres théories des classes sont NF et Morse-Kelley, faut-il en parler ?--Michel421 (d) 13 avril 2008 à 11:04 (CEST)

Le but est d'aborder la notion de classe telle qu'elle est comprise par les mathématiciens (c'est une notion de théorie des ensembles plutôt répandue), pas de l'axiomatiser, ce qui est fait dans l'article sur NBG. Il y a une intuition derrière la notion de classe (au sens de l'article), qui vient avant de parler de théorie des classes. Depuis pas mal de temps la théorie des ensembles "mainstream", avec une approche style ZF, parle de classe, sans l'aborder par NBG, en gros de la façon décrite ici (ceci pour des raisons pratiques, voir le handbook of math. Logic, Axiom of Set theory 77, écrit par Shoenfield), par les collections définissables, ce qui donne des règles formelles pour les manier. On sait que cette notion exactement peut s'axiomatiser par NBG. Morse-Kelley est mentionnée, c'est une extension mais finalement dans le même esprit. Pour NF je connais très mal, mais c'est différent, ce n'est plus la même théorie des ensembles. Le schéma de compréhension est restreint aux formules stratifiées, mais les formules non stratifiées sont dans le langage. En quel sens ce serait une théorie des classes ? Que seraient les classes ? Je ne suis pas sûr du tout qu'il faille la mentionner ici, en tout cas c'est un point de vue très différent, l'approche du début de l'article n'est plus valable. Proz (d) 13 avril 2008 à 15:32 (CEST)

Je n'ai pas l'ouvrage de Quine ; mais Quine utilisait le terme "classe propre" ; voici que me disait un participant d'une discussion à un forum sur about.com en 2004 :

Quine does not properly (in my opinion) distinguish sets from classes, and so he does class theory rather than set theory while calling it ‘set theory’. That is, his variables range over the class of all classes rather than the class of all sets. That is, a variable in Quine’s work may refer to a set but it may refer instead to what Quine calls "a proper class," which is a class of sets that is not itself a member of any set, but may be a member of some other class, or, rather, the variables refer indiscriminately to objects of both sorts. Thus Quine takes ‘the class of all things whatever such that P’ as an undefined term rather than ‘the class merely of all sets such that P’, and he proceeds, then, to define ‘for all things whatever u, P’ instead of ‘for all sets u, P’, etc.

Ce contributeur m'avait parlé aussi d'une version de NF dans laquelle l'appartenance n'était plus un terme primitif - l'inclusion et le "terme de classe" {x:P} étaient les seuls termes primitifs à la fois du calcul des prédicats et de la théorie des ensembles. Il m'avait promis de me donner la référence quand il aurait joint sa librairie du Kansas mais il est mort avant --Michel421 (d) 13 avril 2008 à 18:10 (CEST)

Comme la notion d'ensemble ou de classe n'est pas la même, et que l'on ne sait pas relier les théories à la ZF ou NBG et NF, il est difficile de dire quelque chose de précis. Je n'ai pas l'impression que ce soit le bon article pour parler de NF (ça demanderait un gros développement pour dire quelque chose de compréhensible, d'autant qu'il n'y pas d'article actuellement sur NF). Proz (d) 13 avril 2008 à 19:32 (CEST)

Renommage

Étant donné que le corps de l'article est consacré exclusivement à la notion de classe en théorie des ensembles et pas aux autres acceptions du mot « classe » en mathématiques (ce qui est un choix cohérent que j'approuve), ne pourrait-on pas le spécifier en renommant l'article « Classe (théorie des ensembles » et renvoyer en introduction plus clairement les autres acceptions à « Classe d'équivalence » et à « Ensemble » ? Ambigraphe, le 30 novembre 2008 à 20:52 (CET)

Je n'ai pas l'impression qu'il y ait matière pour un article sur les autres acceptations du mot classe. Le nom n'a pas grande importance : on risque peu d'y arriver directement, peut être un peu plus pour classe (mathématiques) ? Le nom n'est pas non plus usurpé : le sens de classe plus technique fait partie des notions de la théorie des ensembles qui sont assez répandues (j'ai dû entendre parler de ça en sup, sans comprendre de façon précise bien sûr). Donc je ne vois pas trop l'intérêt du renommage (avec risque d'un doublon). En fait pour le nom je suis faiblement pour le statu quo, plus fortement opposé à deux articles (ce que tu ne proposes d'ailleurs pas), même en comptant une homonymie avec encore des indirections. Proz (d) 30 novembre 2008 à 22:05 (CET)

Cette proposition vient du fait que l'article actuel se perd un peu dans l'introduction avec les différentes acceptions qu'il ne traite pas ensuite. Je ne tiens pas vraiment au renommage mais il me semble important que l'introduction représente le corps du texte. Je préfèrerais donc qu'elle commence par une phrase du genre :

« En théorie des ensembles, une classe est une généralisation de la notion d'ensemble, définie par les propriétés qui caractérisent les éléments qu'elle contient. »

Ensuite on peut expliquer que le terme est encore actuellement employé comme alternative au mot « ensemble », voire préféré à ce dernier par certains logiciens de l'aube du XX^e, mais qu'il s'en est détaché depuis que le paradoxe de Russel a montré les limites de l'axiome de compréhension non restreint. Une phrase peut alors avertir le lecteur que le terme se rencontre encore en mathématiques hors de ce contexte dans le syntagme « classe d'équivalence ». Ambigraphe, le 30 novembre 2008 à 22:30 (CET)

La notion de classe et tout de même un peu subtile (d'où la difficulté de l'introduire directement). Un ensemble aussi est défini par une propriété caractéristique. Le résumé historique que tu fais (peut-être induit pas l'introduction de l'article) n'est pas correct (la distinction date d'avant Russell, Cantor 1899, mais c'est devenu précis après Skolem-Fraenkel, et von Neumann-Bernays-Gödel, le vocabulaire a dû se fixer petit à petit). Le paradoxe de Russell est le plus simple pour expliquer la différence, d'où l'exemple dans l'intro. Je suis d'accord qu'il faut un lien sur ensemble, parler tout de suite de généralisation. Proz (d) 30 novembre 2008 à 23:53 (CET)

Ton remaniement de l'introduction est très bien, j'ai modifié légèrement l'expression pour clarifier davantage, mais n'hésite pas à corriger et me dire si tu n'es pas satisfait.

Il me manque encore une information importante sur cet article : quelle est la différence entre « collection » et « classe » ? Est-ce uniquement une question de terminologie ou bien y a-t-il deux concepts distincts ? Ambigraphe, le 6 décembre 2008 à 07:46 (CET)

Collection est encore plus général, on n'a pas de propriété caractéristique, on ne peut pas en parler (dans la théorie). C'est dit rapidement dans la première section (de plus le livre de Krivine utilise "collection" pour "classe", même si maintenant à peu près tout le monde dit "classe"). C'est une notion qui ne devient claire que quand on parle de modèle de la théorie des ensembles. C'est ce qui permet de comprendre le paradoxe de Skolem. Comme beaucoup voient la théorie des ensembles comme "la" théorie des fondations, c'est troublant. C'est abordé rapidement dans le premier paragraphe. En fait ma formulation de l'introduction était volontairement plus prudente. La première qui ne te plaisait pas était un peu énigmatique (et ne parlait pas de collection). La seconde se concentrait sur le fait qu'une classe n'était pas un objet mathématique à proprement parler (ne peut appartenir à un ensemble), un peu l'intuition de Cantor. Collection était employée très informelle. Je crois qu'il vaut mieux ne pas tout dire dans l'intro. Par ailleurs je ne pense pas qu'il y ait une préférence quelconque de la part de Peano ou Schröder : ils n'avaient pas vu le problème (en gros seul Cantor distinguait très tôt deux notions, l'infini et l'infini absolu, par ex.). Proz (d) 6 décembre 2008 à 11:18 (CET)

moi, j'aimerai bien qu'on me dise si une classe (ou autre) a des éléments distinguables les uns des autres ou si c'est une propriété (supposée ?) des ensembles. Et il me semble qu'il serait utile de dire vraiment ce qu distingue une classe d'un ensemble, plutot qu'une vague "généralisation de la notion d'ensemble", ne permettant nullement de comprendre ce qui fait qu'une classe n'est pas un ensemble.Claudeh5 (d) 6 décembre 2008 à 18:19 (CET)

Pour répondre à ton interrogation, oui, il y a moyen de distinguer ensemble et classes sans dire informellement qu'une classe est une généralisation de la notion d'ensemble.

• Sachant qu'un ensemble est une classe, une définition possible et bien connu de la notion d'ensemble est de dire : Un ensemble est une classe appartenant à une autre classe. Donc |N qui appartient à V (nom commun pour la classe de tous les ensembles) est un ensemble, mais V qui n'appartient ni à V ni à une sous classe de lui même n'est pas un ensemble.
• Mais on ne peut avoir une déf absolue de la notion de classe (ou de collection), car de la même manière que le rassemblement de tous les ensembles n'est pas un ensemble (d'où ce mot de classe), le rassemblement de toutes les classes de niveau n n'est pas une classe de niveau n mais une classes de niveau n+1 (voir la théorie des types), etc. Impossible de clôturer le champ en considérant une ontologie maximale, sinon on retombe sur le paradoxe de Russell.
• A noter qu'un ensemble dans ZF est tout ce qui est considéré par une variable liée dans un axiome ou un thm. Càd qu'une classe stricte n'est pas prise par la quantification (de premier ordre). --Epsilon0 ε₀ 7 décembre 2008 à 21:38 (CET)

Ce qui distingue une classe d'un ensemble c'est effectivement qu'une classe propre ne peut appartenir à un ensemble. Ca me semblait plus claire avec la version précédente de l'intro. Ensuite formellement, en théorie des ensembles à la ZF, une classe est juste une manière de parler des prédicats (à extensionnalité près si on veut), ce n'est pas à mettre dans l'introduction à mon avis (c'est simple, mais ça n'est pas directement compréhensible). A claudeh5 : je ne comprends pas ce que tu veux dire par "avoir des éléments distinguables les uns des autres", (pour moi, s'ils ne sont pas distinguables, ce sont les mêmes, comment saurait-on qu'ils sont distincts ?). A epsilon0 : le choix de présentation de l'article c'est que la notion primitive est celle d'ensemble (c.a.d. Z, ZF ...), pas celle de classe, c'est bien la notion la plus répandue. La théorie des types Russell : c'est encore autre chose. Proz (d) 7 décembre 2008 à 23:14 (CET)

ce que je pose comme question est pourtant relativement simple (à dire !): existe-t-il une fonction de choix dans les classes ? On utilise très souvent l'argument du balayage sur tous les éléments de l'ensemble pour montrer qu'une propriété est vraie (par un élément générique, par exemple). Pour une classe, existe-t-il TOUJOURS une fonction de choix ? autrement dit, pour reprendre l'image du sac (à malices ?), si je plonge la main dans le sac, est-ce que peux toujours et pour tout élément ne retirer du sac que cet élément ? ou est-ce que, à l'instar des quarks, si je plonge la main dans le sac, et que je veux un quark, au moment où je retire la main de mon sac à quarks, j'en ai toujours plusieurs mais pas un seul ?Claudeh5 (d) 10 décembre 2008 à 22:43 (CET)

Je subodore que tu confonds avec une autre notion, celle d'atome (un élément primitif qui n'est pas un ensemble, il y a des codages dans ZF sans fondation) et les modèles de Fraenkel-Mostowski qui ne satisfont pas l'axiome du choix, on utilise des permutations des atomes qui sont effectivement d'une certaine façon indiscernables. L'axiome du choix sur les classes : la fonction de choix devrait elle même être une classe, dans ZFC c'est un peu dur à exprimer. Le principe du choix (l'univers est bien ordonné, en correspondance bijective avec la classe des ordinaux) s'énonce dans NBG, c'est une extension conservative. Proz (d) 11 décembre 2008 à 02:27 (CET)

Introduction

Certains points de l'introduction telle qu'elle a été remise en place par Proz me posent problème :

• La troisième phrase est incorrecte syntaxiquement. Elle commence comme une subordonnée mais la proposition principale n'arrive que dans la phrase suivante. Comme je suis bien d'accord que le regroupement de ces deux phrases en une seule serait dur à avaler, j'avais proposé un découpage qui n'a pas été retenu. Peut-on reformuler de la manière suivante :

  Dans ce cadre, une classe peut être vue comme une collection d'objets, mais ne constitue pas forcément un ensemble. En effet, tandis qu'un ensemble peut toujours être vu comme un élément d'un autre ensemble, il est possible de définir des classes qui échappent à une telle appartenance. Ces dernières sont qualifiées de classes propres.

• La première personne du pluriel du deuxième alinéa n'est pas nécessaire. Je ne vois pas ce qui pose problème dans l'expression « pour ce qui est aujourd'hui désigné comme « ensemble ».
• La phrase « Si on élargit aux classes, on ne peut plus parler de l'ensemble quotient » est pour le moins obscure. Je ne comprends pas ce qui est sous-entendu.
• La mise en italique de l'expression « ensemble d'ensembles » souligne ce qui fait préférer l'expression « classe d'ensemble ». Je ne vois pas pourquoi s'en défaire.

Ambigraphe, le 8 décembre 2008 à 21:19 (CET)

1. ok (un oubli ... oups, ... deux fois de suite ...). Mais je préfère parler d'objet mathématique : c'est bien l'origine du problème. S'il n'y a avait que des objets et des ensembles d'objets (deux niveaux), il n'y aurait pas de problèmes. Ca correspond de plus à la formalisation dans ZF. De plus, autant que la définition d'une class propre soit autonome.

2. A dire vrai ce n'est pas la raison de la réécriture (cf. ci-dessus). Moi la seconde personne du pluriel ne me gêne pas, mais bon ... Pas très chaud pour "désigné comme" ("appellé", "nommé" ..)

3. J'ai essayé d'éclaircir. L'exemple ce sont les classes d'équipotence dont il est question en dessous. Ce sont des classes d'équivalence (en élargissant la notion de relation aux classes). J'enlève la définition d'ensemble quotient (j'ai ajouté un lien sur l'article relation d'équivalence).

4. Je n'avais pas compris l'intention (pas d'objection, pas sûr que les italiques servent bien à ça, mais bon ...). Proz (d) 8 décembre 2008 à 23:37 (CET)

Classe stricte ?

Dans les bouquins autant que sur la toile, j'ai souvent vu l'expression « sous-classe stricte », (souvent au sens de sous-ensemble strict), mais « classe stricte » ça ne me dit rien ; sur Google les seules occurrences de classe stricte (au sens de classe propre), sont wikipédiennes. Michel421 _{parfaitement agnostique} 15 novembre 2011 à 18:19 (CET)

Je viens de vérifier sur le net et dans une bonne dizaine de bouquins et à ma surprise tu as parfaitement raison. Je dois être à l'origine des occurrences de "classes strictes" pour "classes propres" sur wp. Je m'en vais corriger, n'hésitez pas à supprimer les occurrences que je n'aurais pas retrouvées. Je crois qu'à l'origine des choses le prof qui m'a fait découvrir les classes qui ne sont pas des ensembles utilisait "classe stricte" et que ça m'est passivement resté comme un terme usuel que je croyais généralisé. Mea culpa et merci pour cette correction. --Epsilon0 ε₀ 16 novembre 2011 à 21:27 (CET)

J'ai corrigé 3 occurrences et n'en ai pas vu d'autres (sauf sur cette présente pdd obviously), si vous en voyez d'autres, ben, sabrez ! --Epsilon0 ε₀ 16 novembre 2011 à 21:45 (CET)