Discussion:Analyse non standard

Premières discussions

(texte supprimé par un contributeur qui a décidé de se retirer)

Certes, mais ça n'est pas propre à l'analyse non-standard, c'est le cas dès que l'on touche à des ensembles infinis (ex : les entiers comprennent une infinité d'entiers pairs et une infinité d'entiers impairs). En plus ça n'est déconcertant que parce qu'on utilise l'infini comme un nombre alors que ce n'en est pas un ...

Pour en revenir à l'article, j'ai rajouté un bandeau {{ébauche}} parce qu'il me paraît beaucoup trop court et vague. En particulier s'il y a une chose à proscrire dans un article de maths (et pas seulement dans wikipedia) c'est l'utilisation de termes comme infiniment petit sans les définir précisément. Quand à la section Transfert je n'y comprend tout simplement rien en l'état.

Malheureusement je n'ai pas le temps actuellement de m'attaquer au sujet. L'article anglais pourrait être une base de travail, il a l'air assez clair et fourni (j'ai ajouté l'interwiki). Si quelqu'un s'y met j'essaierai d'apporter un peu d'aide ;)

PtitLutin 3 aoû 2004 à 22:23 (CEST)

J'ai ajouté des liens wiki sur les concepts qui, je pense, demandent clarification. Peut-être qu'une autre approche serait de tout expliquer directement dans l'article. En tout cas, dans l'état, je n'y comprends pas grand chose. Que veut dire x = x_F, par exemple ? (le symbole « _ » n'est expliqué nulle part ... c'est peut être juste une typo, ou alors peut-être l'auteur a-t-il tout simplement oublié les balises <math> ... encore faudrait il expliqué ce qu'est $x_{F}$)--Ąļḋøø 27 aoû 2004 à 13:46 (CEST)

Thierry, tu parle d'"un ensemble infini possédant un nombre infini d'éléments standard et un nombre infini d'éléments non-standard", mais tout ensemble ne possède qu'un nombre fini d'éléments standard, même si ce nombre lui-même est non standard :-). J'ai par ailleurs supprimé le lien du prédicat standard dans le sens où c'est l'article lui-même qui, peu à peu, doit donner un sens à ce prédicat Theon 30 nov 2004

Mon message précédent contient une inexactitude. Il serait plus juste de dire : dans tout ensemble, il existe un ensemble fini contenant tous les éléments standard. Mais on ne peut parler du "nombre" d'éléments standard dans le sens où les éléments standard ne forment pas un ensemble de Zermelo-Fraenkel et qu'on ne peut donc pas parler du nombre d'éléments de cet ensemble. Theon 1er déc 2004

analyse réelle, analyse complexe

Suite à la dernière modification de 83.194.164.98, qui rectifie un paragraphe en affirmant que l'analyse complexe est plus générale que l'analyse réelle (ce qui paraît intuitif), je me demande ce qu'il en est vraiment. En effet, la justification dans la version précédente (qui affirmait juste le contraire), me paraît plutôt sensée.

On pouvait y lire : en effet, l'étude des fonctions de R*R dans R*R n'impose pas les équations de Cauchy-Riemann pour les dérivées des fonctions de C dans C

Qu'en pensent les analystes (réalistes ou complexés ;-) ) ? --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 14 déc 2004 à 18:28 (CET)

C'est moi qui avait écrit le premier paragraphe, et je voulais effectivement mettre que l'analyse complexe est plus générale que l'analyse réelle (en effet R est inclus dans C). A la suite d'une étourderie, j'avais mis que l'analyse réelle est plus générale que l'analyse complexe. Puis il y a eu la correction proposée en effet, l'étude des fonctions de R*R dans R*R n'impose pas les équations de Cauchy-Riemann pour les dérivées des fonctions de C dans C. Cette correction n'est guère convaincante. Il ne s'agit pas de comparer R*R à C, mais R à C, ou alors R*R à C*C !! J'ai donc enlevé cet argument et j'ai corrigé mon paragraphe (et à la suite d'une deuxième étourderie, j'avais oublié de m'identifier).

C est obtenu à partir R en ajoutant un élément, de même que l'analyse non standard est obtenue à partir de l'analyse classique en ajoutant un prédicat. Dire alors que l'analyse non standard est plus générale que l'analyse classique de même que l'analyse réelle est plus générale que l'analyse complexe était un contre-sens. Theon 16 déc 2004 à 11:16 (CET)

J'en ai parlé à mon colloc (agrégatif en maths). Lui, considère qu'il n'y en a pas une plus générale que l'autre : ce seraient juste des domaines d'étude différents ... ceci dit, il n'a peut-être pas poussé la réflexion jusqu'au bout. --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 16 déc 2004 à 23:46 (CET)

Il me semble que si un domaine d'étude D est plus vaste qu'un domaine D', D sera plus général que D'. A titre d'exemple, comment fait-on pour résoudre une équation du troisième degré à coefficients réels, si on ne dispose pas des nombres complexes ?Theon 17 déc 2004 à 08:20 (CET)

Tant que "plus vaste" est à prendre au sens de l'inclusion, je suis tout à fait d'accord. Et si tout résultat d'analyse réelle peut aussi être qualifié de résultat d'analyse complexe, je suis aussi d'accord pour dire que la complexe est plus générale que la réelle (mais ça, je n'en sais rien !) --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 17 déc 2004 à 16:51 (CET)

Il n'y a pas inclusion entre l'analyse complexe et l'analyse réelle. En analyse complexe la notion de dérivable est beaucoup, beaucoup plus contraignante qu'en analyse réelle (c'est pour ça qu'on dit 'holomorphe'). En analyse réelle, on dispose de la relation d'ordre, qui permet de raconter des choses très intéressantes ce qui n'est pas possible en analyse complexe. Je dois avouer que la phrase m'a fait tiquer ; elle est incongrue. Snark 31 juillet 2005 à 22:56 (CEST)

Ben, à partir du moment où R est inclus dans C, je ne vois pas trop où est le pb. Mais le fond de la question n'est pas là. Pour faire comprendre que l'analyse non standard était une extension de l'analyse classique (par ajout de la notion "standard"), j'avais pensé à évoquer le domaine complexe qui est une extension du domaine réel (par ajout de la notion "racine de -1"). Les deux démarches sont très semblables. Par exemple : tout résultat classique obtenu avec des moyens non standard est néanmoins vrai en analyse classique. Toute formule sur les réels obtenue au moyen des complexes est néanmoins valide dans R. Theon 19 déc 2004 à 15:59 (CET)

J'avoue que je n'ai rien compris de cet article. Ne peut-on pas le refaire en utilisant des termes plus simples? Wikipedia est censé être accessible à tout le monde! --80.201.74.218 27 jan 2005 à 22:23 (CET)

L'introduction a été réécrite pour mieux expliquer d'où vient et ce qu'est l'analyse non standard. Est-ce plus clair ainsi ? Quant au développement de l'article, il ne peut être un cours d'ANS et ne peut que survoler la question, ne donnant qu'une faible idée de ce qu'est l'ANS. En cas de difficulté de compréhension, il faudrait être plus explicite : A partir de quel paragraphe exactement décroche-t-on ? Theon 31 jan 2005 à 09:46 (CET)

Axiome du choix et analyse non standard.

Dans l'article, la théorie de base pour construire l'analyse non standard style IST est la théorie ZF. Pourtant, dans le bouquin de Diener et Reeb, ils prennent ZFC. Je suis actuellement en train d'essayer de résoudre un problème sans l'axiome du choix, mais en utilisant IST. Quelqu'un peut-il préciser si l'axiome du choix est vraiment nécessaire pour construire la base de la théorie (par exemple pour construire l'ombre d'un réel)? Est-ce juste une facilité de la part de Diener et Reeb de l'avoir pris ou bien juste une cohérence historique (car Robinson l'avait utilisé au départ) ? Peut-on construire des fonctions non standard non mesurables sans l'axiome du choix ?

Je n'ai pas l'impression que l'IST version Nelson utilise l'axiome du choix, mais je n'ai pas étudié la question à fond, donc ma réponse est sous toute réserve. Quant à la question finale, je ne connais pas de telle construction. Si l'IST permettait de construire une fonction non standard non mesurable, alors bien sûr, on aurait trouvé une fonction non mesurable. Ce dernier résultat ne faisant pas appel à la notion de standard serait alors un résultat classique, et on aurait prouvé qu'en analyse classique, il existe une fonction non mesurable. Et sans faire appel à l'axiome du choix. Ce qui jette quelque doute sur la possibilité d'une telle construction.Theon 20 fev 2005 à 14:53 (CET)

La NSA ne nécessite pas au départ l'utilisation de l'axiome de choix mais pour démontrer l'existence de nombres hyperréels , il faut utiliser un ultra-filtre qui lui nécessite l'axiome de choix--193.190.196.70 17 mars 2006 à 14:10 (CET)

Remarques diverses

Précisons d'abord que je ne suis pas un expert en la question.

Dans 2.1: il est question d'une relation 'classique' (le terme est défini juste après, c'est bon) ; néanmoins je me suis posé la question: définie sur quoi? Faut-il qu'elle soit définie sur un ensemble standard, interne, quelconque? Le fait que par la suite, dans les exemples, on précise systématiquement pour chaque relation dans quoi vivent les éléments me fait penser que ce n'est pas vraiment une relation au sens ensembliste (partie du produit de deux ensembles), mais au sens de formule logique. C'est ça?

Dans 2.1.2, il est dit que "L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément charmé (ou non-standard) x " ; or d'après l'énoncé de cet axiome, il se contente de fournir un élément, mais ne précise pas sa nature.

Dans 5.1, il est question d'une définition plus simple de la continuité. En fait, j'ai plutôt l'impression qu'il s'agit d'une caractérisation de la continuité, et qui plus est d'une fonction standard...

Snark 1 août 2005 à 14:29 (CEST)

Une relation classique, une proposition classique, etc... est une relation, une proposition, etc... des mathématiques usuelles. Elles n'utilisent pas le concept de standard. Exemple, tel entier est pair, x est inférieur à y, ... sont classiques

Dans 2.1.2 x est non stantard, car différent des éléments standard

Dans 5.1, la définition donnée est effectivement équivalente à la définition de la continuité pour les fonctions standard.

Theon 23 août 2005 à 16:05

Erreur possible

Dans le paragraphe 2.2 "axiome de transfert", il est dit que "Si a et b sont deux nombres standard, il en est de même de ab, a+b, a–b, a/b". Or, zéro est un nombre standard, un aussi, mais 1/0 ne l'est pas (si j'ai compris quelque chose à l'article, je suis pas matheux)... Donc il faudrait préciser que le quotient de deux nombres standards ne l'est pas nécessairement. Cela dit je ne me permettrai pas de modifier moi même, n'étant pas sûr de mon coup.

GustouristE 12 juillet 2007 à 22:07

b doit effectivement être non nul car sinon a/b n'est pas défini, que a et/ou b soient standard ou non. L'article veut simplement souligner qu'à partir d'objets standard, on ne pourra définir que des objets standard. Si on définit un ensemble dans lequel 1/0 a un sens sans utiliser la notion de standard (par exemple la droite projective), alors 1/0 sera standard dans cet ensemble. Theon 13 juillet 2007 à 10:56 (CEST)

Sur la partie des nombres réels, il me semble qu'il faille dire "les infinitésimaux sont les réels strictement positifs plus petits que tout réel standard strictement positif sauf 0". Il risque sinon d'y avoir confusion avec les opposés des infiniments grands.

Je ne modifie pas l'article moi-même par respect des auteurs originaux. Si je me trompe, désolé, mais dans ce cas il serait bon d'apporter une clarification.

Un infinitésimal n'est pas nécessairement positif. L'opposé d'un infinitésimal en est un aussi. C'est pourquoi l'article parle des réels inférieurs en valeur absolue à tout réel standard. Mais bien entendu, ce dernier doit être positif puisqu'il majore une valeur absolue. Theon (d) 7 février 2008 à 18:09 (CET)

Diverses questions, ou fautes potentielles

Je ne suis pas assez avancé pour voir si ce sont vraiment des fautes, mais si je me pose la question, je pense que je dois pas être le seul, et si quelqu'un peut apporter des précision se serait bien.

L'Analyse non standard est, au début, extrêmement déroutante, et je pense que quiconque qui s'y initie est amené à se poser les questions que tu te poses et à se confronter à des questions qui paraissent a priori paradoxales. La réponse à ces questions permet alors de se rendre compte de l'extrême soin qui a présidé au choix des axiomes.Theon (d) 10 mai 2008 à 18:45 (CEST)

A propos de "il existe une partie finie X de E contenant tous les éléments standard de E", serait-il possible de donner une définition d'une partie finie dans le cas de l'analyse non standard. Car la démonstration montre qu'il existe un ensemble contenant tout les élements standard. (ce qui est évident, il suffit de prendre l'ensemble sur lequel on travaille), mais ne permet pas de voir qu'il n'existe qu'un nombre fini d'élement dans cette ensemble.

La définition d'un ensemble fini en analyse non standard ne diffère pas de la définition classique. L'analyse non standard ne modifie en rien l'analyse classique en ce qui concerne les notions ne faisant pas appel au prédicat standard. La démonstration utilise l'axiome d'idéalisation appliquée sur une relation précisant explicitement que X est fini. Theon (d) 10 mai 2008 à 18:33 (CEST)

A propos des entiers "si P(0) est vrai, et si pour tout n standard, P(n) implique P(n+1), alors pour tout n standard, P(n) est vérifié." Pourquoi avec l'axiome de transfert ne s'applique pas? Pour tout x standard, F(x, E1, ..., En) si et seulement si pour tout x, F(x, E1, ..., En), en remplaçant F(x, E1, ..., En) par P(n), on aurait, puisque P est vrai pour tout n standard, alors P est vrai pour tout n.

Parce que, comme précisé dans les hypothèses de l'axiome de transfert, celui-ci ne s'applique que sur des propriétés F classiques. Si P est une propriété classique (n'utilisant pas la notion de standard), alors, comme en analyse classique, la récurrence est valide. Mais si P est non classique (utilise la notion de standard), alors la propriété de récurrence ne s'applique plus. Exemple : P(n) si et seulement si n est standard. On a bien 0 qui est standard, si P(n) est vrai, alors P(n+1) aussi, mais P n'est pas vrai pour tout n. L'article précise cependant qu'une récurrence restreinte s'applique de la façon suivante : P(n) est vrai pour les entiers standard. Intuitivement, la récurrence ne s'applique que sur les entiers accessibles, les entiers standard. Theon (d) 10 mai 2008 à 18:40 (CEST)

Nouvelle introduction

Bonjour Theon,

Ta nouvelle introduction est ambiguë. Veux-tu dire que

• L’analyse non standard est plus intuitive que l’ "analyse standard"
• La présentation de l’analyse non standard par Nelson est plus intuitive que celle de Robinson
• Les deux à la fois

Au plaisir de lire ta réponse.

Cordialement. --Actorstudio (d) 23 mars 2009 à 20:05 (CET)

En effet, la dernière phrase n'est pas très fameuse. Je voulais comparer L’analyse non standard avec l’analyse classique. D'ailleurs, l'affirmation d'être plus ou moins intuitif est affaire d'opinion et je me demande s'il ne faudrait pas remplacer cette phrase par qqc de plus précis. Theon (d) 23 mars 2009 à 20:52 (CET)

Partition de lR en "standards/non-standards"

Bonjour, Je cite l'article :
"On montre qu'on peut partitionner l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels en :

• les infinitésimaux (...)
• les illimités (...)
• les appréciables. "
  

On le montre, peut-être, mais comment? --80.82.238.100 (d) 29 juillet 2009 à 15:50 (CEST)

Cela alourdirait considérablement l'article de donner toutes les démonstrations, mais en gros, on peut procéder comme suit. Soit x réel strictement positif et n sa partie réelle. Si n est un entier non standard, alors n (et donc x aussi) est plus grand que tout entier standard. x sera alors illimité. Dans le cas contraire, x est limité. On considère alors 1/x, et si ce dernier est également illimité, x sera infinitésimal, sinon x sera appréciable. Theon (d) 8 août 2009 à 15:04 (CEST)

Ravages en didactique ?

Voici une opinion assez dédaigneuse sur l'analyse non standard : "Il faut sans doute ouvrir ici une parenthèse anachronique et glisser un mot de la prétendue « analyse non-standard », compte tenu de l’incroyable publicité dont elle a joui. Si ses « tenants », en Logique et en Théorie des ensembles, sont fascinants et féconds, ses « aboutissants » sont en revanche plutôt douteux : combat d’arrière-garde pour « justifier les indivisibles » des débuts du Calcul infinitésimal, sans regard épistémologique critique sur les liens supposés entre ses « néoinfinitésimaux » et ceux, fort divers, des anciens. Son foyer d’intérêt - des questions inactuelles de fondements - étant très loin des problèmes qui drainent l’Analyse contemporaine, il n’est pas étonnant que ses contributions y soient minimes. Mais elle s’est bien vendue auprès d’épistémologues friands de curiosités « non-standard » (et semble actuellement faire des ravages en didactique)."

C'est d'Yves André (CNRS-ENS), Leçons de Mathématiques contemporaines à l'IRCAM. Voyez le plan de l'ouvrage ici et le chapitre qui contient le passage ici.

Cela mériterait-il d'être cité dans l'article ?
Marvoir (d) 12 août 2009 à 17:11 (CEST)

Le texte cité n'est qu'une note dans le chapitre en question. Ceci dit, si l'analyse non-standard a connu dans les années 80-90 une certaine mode, comme les fractales (que Yves André semble ne pas aimer non plus), je ne suis pas sûr que ce soit encore le cas aujourd'hui. Je crains que cette note, bien que datée de 2009, soit hors actualité. Il comporte également ce qui me paraît une inexactitude : les ouvrages d'analyse non-standard que j'ai eus entre les mains s'occupent fort peu de fondements mais traitent très concrètement d'équations différentielles. L'article lui-même précise que Cependant, l'analyse non standard a eu à ce jour peu d'influence. Peu de théorèmes nouveaux ont été mis au point au moyen de celle-ci, ce qui paraît une présentation objective et non polémique de la situation actuelle. Theon (d) 12 août 2009 à 19:14 (CEST)

Merci pour la réponse. Pour ma part, je comprends mal qu'on puisse trouver une valeur pédagogique à l'analyse non standard, qui ne me semble qu'une curiosité assez abstruse, mais je ne me sens pas assez compétent pour intervenir dans l'article.

Marvoir (d) 12 août 2009 à 19:30 (CEST)

A propos d'Yves André :

• Voici la note 8 du chapitre Chapitre 7 « Des infinis subtils »

«  rappelons que l’intégrale $\int _{a}^{b}{\frac {df}{dx}}\cdot \mathrm {d} x$ représente, géométriquement, l’aire limitée par le graphe de f entre a et b (et par le segment [a, b] de l’axe des x). »

• Dans la bibliographie de l’exposé : Les topos de Grothendieck on trouve :

A. Badiou, Logiques des Mondes, Seuil, 2006

Est-ce sérieux tout ça? --Actorstudio (d) 12 août 2009 à 19:59 (CEST)

En effet, l'intégrale de la dérivée de f qui est l'aire sous la courbe de f et non de f', c'est fâcheux... C'est peut-être une inadvertance, mais je ne me cramponnerai pas à Yves André.

Marvoir (d) 12 août 2009 à 20:09 (CEST)

En ce qui concerne les dites "ravages en didactique": que sait-on la dessus? Est-ce que l'analyse non-standard est utilisee dans l'enseignement? ? Math999 (d) 18 octobre 2009 à 17:01 (CEST)

remarque inexacte

"En 1960, Abraham Robinson définit les infiniment petits par une ultra-puissance de R" est inexacte. Robinson en 1961 a utilise des theoremes de compacite pour construire *R, tandis que Luxembourg en 1962 a utilise la construction "ultrapuissance". Math999 (d) 28 janvier 2010 à 15:52 (CET)

exemple?

Je ne suis pas convaincu par la justification qui apparait ici de l'exemple suivant:

Exemple 2 : Tout ensemble infini possède un élément non standard. Considérons la relation x différent de y dans un ensemble E infini. Pour chaque partie finie standard F, nous trouvons un élément x noté xF appartenant à E tel que x soit différent de y pour tout y appartenant à F, puisque E est infini. L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément x appartenant à E et différent de tous les éléments standard y appartenant à E ; x est évidemment charmé (ou non standard).

Pourquoi x appartient-il a E? En termes de n.s.a., ce qu'on vient d'affirmer que tout ensemble interne de R est fini. Cependant ceci est un resultat assez difficile. Il me semble que tout ce qu'on a demontre ci-dessus c'est que l'extension naturelle de tout ensemble reel infini, necessairement contient un element nonstandard. Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 16:52 (CEST)

??? Faisons ça proprement : on a (par contraposition du principe d'idéalisation) $\forall ^{st}x\exists ^{st}y(x\in E\rightarrow x=y)\leftrightarrow \exists ^{st\ fini}z\ \forall x\ \exists y\in z(x\in E\rightarrow x=y)$, donc si E est standard et fini, tous ses éléments sont standards--Dfeldmann (d) 5 octobre 2010 à 19:01 (CEST)

I am sorry I can't follow this. I have never been too strong in IST. Let's see if we agree about the basics. This looks like a very simple proof. Do you agree that the standard version of this result is difficult? Or does your proof translate into a NSA-type proof that's just as easy? Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 19:10 (CEST)

I still dont understand what you are asking. In IST, the results of the shape "there exists an unlimited integer", or "there exists a finite set containing all the standard sets", and so on, are very easy, they are usually one-line consequence of the idealization axiom. If you ask for a justification of this axiom in, say , some ultrafilter construction, I agree this could be quite hard , this is (according to your philosophical position) a strength or a weakness of IST --Dfeldmann (d) 5 octobre 2010 à 19:29 (CEST)

Getting back to your proof, your conclusion is "si E est standard et fini, tous ses éléments sont standards". But we are trying to prove the opposite: if all elements are standard, then E is finite. This is the converse, not the contrapositive. What did you mean here? Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 19:35 (CEST)

I don't understand the formula you wrote down. Is z an element or a set? Since you quantify over it, it should be an element. But then you write that y belongs to z.  ?? Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 21:29 (CEST)

We are in ZFC (or in ZFC + the 3 axioms of IST), so every object is a set...--Dfeldmann (d) 5 octobre 2010 à 22:11 (CEST)

La relation R utilisée dans l'exemple 2 est : x appartient à E et y appartient à E et x est différent de y. Theon (d) 5 octobre 2010 à 22:08 (CEST)

Traduction

Merci, T. Delbecque, pour votre ancien ajout, modeste et anonyme. Pourquoi avoir remplacé récemment l'url d'un site académique par celle de votre entreprise, si ce n'est pour lui faire (très discrètement ! ) un peu de pub ? Mais tout ça n'est pas bien grave àmha. Anne Bauval (d) 27 novembre 2010 à 12:43 (CET)

résumé introductif

Affirmer sans précautions que l'analyse non standard est plus intuitive que l'analyse usuelle en résumé introductif n'est pas sérieux (le moins qu'on puisse dire c'est qu'il n'y a pas de consensus à dessus). Je trouve curieux que la nouvelle notion introduite soit celle d'objet standard (il me semble que c'et l'inverse, vu que les infinitésimaux sont non standards). On ne comprend pas bien que les modèles font là dedans. Ce sont des constructions de théorie des modèles qui ont conduit à l'analyse non standard (c'est dit assez clairement me semble-t-il dans l'intro de l'article anglais). Proz (d) 30 mars 2011 à 23:13 (CEST)

Je pense qu'il y a là une confusion : la formulation de choses comme la définition de la continuité en a ("si x est infiniment proche de a, f(x) est infiniment proche de f(a)") est bien plus simple que la définition en epsilon-delta usuelle. Mais , évidemment, les fondements logiques de la théorie sont délicats, d'où l'intérêt de l'approche axiomatique, qui revient à dire, au niveau pédagogique "on admet qu'il existe des infiniment petits ayant telle et telle propriété", ce qui, au demeurant, n'est pas plus rigoureux que la façon dont sont actuellement présenté les réels. D'autre part, et ça, en revanche, c'est en effet un peu surprenant, on n'ajoute pas, formellement, de nouveaux objets pour obtenir IST ; on distingue au contraire parmi les anciens ceux qui ont une propriété supplémentaire (dont la traduction métamathématique pourrait être "constructibles explicitement à partir de l'ensemble vide et des axiomes de ZFC")--Dfeldmann (d) 31 mars 2011 à 06:32 (CEST)

J'ai fait quelques remarques de lecteur naïf, j'avais regardé l'analyse non standard il y a très longtemps, assez superficiellement, et avant de faire de la logique (qui permet de comprendre d'où ça sort), je n'interviendrai pas sur l'article. Je vois bien quand même qu'il y a des choses qui se simplifient et d'autres qui se compliquent, et surtout que des tas de gens ne pensent pas que c'est plus intuitif. Je n'ai pas d'avis sur qui a tort ou raison, il semble que ça n'ait pas pris dans l'enseignement (il y a eu des tentatives). Mieux vaut être neutre, surtout en intro.

L'article est assez militant pro IST (si je compare à en:), qui n'est pas la seule façon de voir les choses. Ceci dit en lisant l'article : il parait quand même clair que l'on ajoute un "axiome d'idéalisation", où je reconnais une internalisation du théorème de compacité, qui force l'ajout de beaucoup de nouveaux objets, (vis-à-vis d'une théorie classique), comme c'est expliqué ensuite d'ailleurs. Il me semble que ça correspond ce que tu expliques juste au dessus sur les infinitésimaux, et que c'est ça qu'il faut dire en intro (ce qui est assez indépendant de l'approche en fait). Le fait de traiter axiomatiquement ou explicitement l'ajout des infinitésimaux c'est un peu du détail.

Modèles standard/non standard : pour préciser, je ne comprends pas à quoi ça renvoit ici (je crains une confusion entre les approches Robinson Nelson), dans en: c'et clair. Proz (d) 31 mars 2011 à 10:50 (CEST)

En fait, cette histoire de modèles est la conséquence d'une guerre d'édition que je n'ai pas voulu forcer, mais je suis d'accord, maintenant que le contributeur un peu problématique responsable s'est lassé, on doit pouvoir reformuler ça correctement. Quand j'aurai le temps...--Dfeldmann (d) 31 mars 2011 à 16:25 (CEST)

cercles concentriques

deux cercles concentriques ont le meme nombre de 'points', d'éléments, puisqu'ils peuvent etre mis en bijection;

si le cercle intérieure a un diamètre infinitésimal, donc non nul (bien que ce nombre soit non-standard), puisque ce diamètre est non nul, il devrait donc etre possible de mettre ce cercle intérieur en bijection avec le cercle extérieur, qui peut lui etre infiniment grand, voir meme un infiniment grand non standard (?!);

géométriquement, si un point (par ex. un nombre de la droite des réels=une position sur cette droite) est considéré comme un espace de dim. 0, tout nombre infinitésimal devrait etre également un espace de dim. 0; or un cercle de diamètre infinitésimal n'est pas un espace de dim. 0 (!?); car si oui, sa dimension 0 le ramènerait à un nombre standard (?);

gilles igla (adresse mail masquée)

Bonjour ; vous n'êtes pas au bon endroit pour poser ce genre de questions, qui par ailleurs demandent un formalisme rigoureux pour pouvoir être traitées.--Dfeldmann (discuter) 30 octobre 2016 à 20:57 (CET)

désolé: 1ère fois que je m'essaye à 1 question sur wiki; pour le formalisme, pas moins désolé: mais je n'ai pas les connaissances qui me permettraient de poser rigoureusement cette question...qui me trotte...depuis que j'ai appris l'existence de l'analyse non standard; si vous pouviez m'aiguiller? merci

En fait, j'ai du mal à comprendre votre question : en ANS, tout cercle (de rayon appréciable, infinitésimal ou infini) a les propriétés des cercles usuels: c'est une courbe (de dimension 1) de longueur 2 pi r, etc. En revanche, son ombre (son standardisé) est un cercle ordinaire, un point , une droite, ou l'ensemble vide ; c'est peut-être cela qui vous rend perplexe...--Dfeldmann (discuter) 2 novembre 2016 à 23:30 (CET)

entiers/éléments standard ou standards ?

Bonjour ; dans la littérature, en particulier dans le présent article, je vois passer les deux orthographes ; qu'est-ce qui est vrai ? Merci Michel421 (discuter) 27 août 2021 à 19:33 (CEST)

Nombre des entiers standard

Je lis sous Suite de Cauchy : …en effet, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers standard, … Ah bon ? Je croyais que les « entiers standard » étaient les nombres entiers au sens de l'arithmétique classique, et que leur ensemble (ℤ pour les entiers relatifs, ou ℕ pour les entiers naturels, de toute façon ils ont le même cardinal) a pour cardinal ce qu'on appelait quand j'étais au lycée la puissance du dénombrable et qui est le plus petit cardinal infini. Que je sache, quelle que soit la manière dont on compte les nombres entiers (standard : je me limite aux "entiers" de l'arithmétique classique, tels que connus d'Archimède ou de Zermelo et Francken), on n'arrivera jamais au bout, ce qui est le propre d'un ensemble infini.

En d'autres termes, je vous mets au défi de me dire quel est ce « nombre fini d'entiers standard » car quel que soit le nombre que vous me citerez, parmi ces « entiers standard en nombre fini » il y en a un qui est le plus élevé, et ce nombre, augmenté de un, est encore un entier standard qui n'est pas dans votre liste. — Tonymec (discuter) 2 novembre 2023 à 00:18 (CET)

Hélas, cela fait partie des nombreuses erreurs des débutants… il est exact qu’il y a une infinité d’entiers standards, mais il sont tous plus petits que n’importe quel entier non standard, lequel est évidemment fini par définition (et la collection des entiers standards, n’étant pas un ensemble, n’a pas de cardinal (fini ou infini)). Plus surprenant encore, l’axiome d’idéalisation montre qu’il existe un ensemble fini contenant tous les objets standard (tous les réels standards, etc.) et, évidemment, beaucoup d’autres objets. Dfeldmann (discuter) 2 novembre 2023 à 08:10 (CET)