Discussion:Absolue continuité

Lien entre fonction réelle absolument continue et mesure absolument continue

PROBLEME sur la fonction de répartition, si la mesure n'est pas bornée : la fonction de répartition de la mesure de Lebesgue ou de la mesure de comptage sur Z sont les mêmes, identiquement $+\infty$. Problème aussi avec la mesure ${\tfrac {dx}{x}}$ par exemple. Nécessité de se référer aux sources. Doit-on se limiter aux mesures de Radon ? Peut-on trouver une formulation à la fois générale et élégante ? J'ai fait une réparation de fortune mais il faudrait améliorer cela rapidement. --Chassaing 19 février 2009 à 14:30 (CET)

En fait, l'article est apparemment inspiré de l'exposé de Rudin (Real and Complex Analysis, ouvrage cité en bibliographie), mais n'en a pas conservé toute la clarté. Rudin se place dans le cadre suivant :

• fonctions absolument continues à valeurs réelles ou complexes ;
• mesures complexes ou réelles (signées) définies sur la tribu borélienne de R, ces dernières s'écrivant donc comme différences de deux mesures positives finies. Ceci écarte les contre-exemples que tu cites.
  

Rudin définit la classe, qu'il note NBV, des fonctions réelles ou complexes définies sur R, à variation bornée, et "normalisées" comme il dit, i. e. tendant vers 0 en moins l'infini, et partout continues à gauche.

• Il montre alors qu'à toute mesure complexe $\mu$, on peut associer bijectivement une fonction f de NBV en posant $f(x)=\mu (]-\infty ,x[)$ (mesure de la demi-droite ouverte, en relation avec la continuité à gauche).
• Enfin, il montre qu'étant donnée une fonction f supposée a priori dans NBV, l'absolue continuité de f équivaut à celle (par rapport à la mesure de Lebesgue) de la mesure complexe $\mu$ à laquelle f est associée.
  --Vivarés (d) 20 février 2009 à 01:38 (CET)

j'ai aussi mon vieux Rudin à côté de moi (mais ce n'est pas la dernière édition, et quand je préparais l'agreg il y a presque 30 ans j'ai un vague souvenir de rumeur d'erreurs dans ce chapitre là, donc j'attend d'avoir la dernière édition sous la main). En fait, et surtout, la restriction à des mesures finies est exagérément restrictive dans le cas de mesures positives : au lieu de prendre la fonction de répartition, il suffit de prendre une fonction F localement BV qui vérifie μ(]a,b])=F(b)-F(a) et F(0) = 0, p.e. F(x)=x pour la mesure de Lebesgue. L'absolue continuité locale de F entraîne que la mesure associée est à densité, de densité non intégrable éventuellement, il me semble en tout cas. Quoiqu'il en soit la version précédente de l'article parlait de la fonction de répartition pour une mesure générale, sans précaution oratoire. La version actuelle est peut-être satisfaisante en gros, mais on pourrait me reprocher de n'avoir pas donné une version optimale du Théorème ...--Chassaing 20 février 2009 à 02:31 (CET)

Titre à franciser

"Absolue continuité" parait avoir été traduit de l'anglais sans tenir compte des particularités de la langue française. "Continuité absolue" serait préférable UKe-CH (discuter) 30 octobre 2023 à 21:14 (CET)