Discussion:Équation diophantienne ax + by = c

Cas général, si c est un multiple de d

Il y a un problème si a = b = c = d = 0. Anne 21/9/14 0h5

oui.... Si j'osais, je mettrais immédiatement en tête d'article que, dans cette équation diophantienne, a et b sont supposés non nuls. Je sais que l'on peut tenter d'être généraliste, mais les équations, dans Z², ax=c, ou 0 = 0 me semblent bien assez tordues dans leurs expressions et tellement simples dans leur résolution que je suis tentée de les ignorer. Lucas[1], lui, va même plus loin : il n'envisage pas du tout le cas où un des coefficients serait nul, ne traite que les cas où les coefficients seraient positifs (le cas où des coeff seraient négatifs pouvant conduire seulement à changer le signe de x ou y dans les solutions), et considère les cas où a ou b seraient égaux à 1 comme triviaux. HB (discuter) 22 septembre 2014 à 17:35 (CEST)

OK. Dans Congruence linéaire j'utilise plutôt la version de "Équation diophantienne ax + by = c" qui serait avec a et b non tous deux nuls, comme (en) Gareth A. Jones et Josephine M. Jones, Elementary Number Theory, Springer Science+Business Media, 2004 (1^re éd. 1998) (lire en ligne), p. 13, mais tant pis. Anne (discuter) 22 septembre 2014 à 19:13 (CEST)

On peut aussi.... surtout si c'est sourçable ( fait). Cependant dans le cas des solutions de l'équation dans N², il faut vraiment prendre a et b non nuls, il me semble( fait). HB (discuter) 24 septembre 2014 à 14:01 (CEST)

Cher Utilisateur:HB,

Sur le Système minimal de l’Équation ax + by = c

SVP, puis-je avoir une  démonstration complète (ou l’étude détaillée de f(t)) qui  nous permet de dériver de  f(t) = (x₁ + b₁t)² + (y₁ – a₁t)²  la valeur minimum de t ? J’ai essayé plusieurs fois mais je n’y arrive pas du tout. 197.157.209.49 (discuter) 12 avril 2022 à 12:57 (CEST)

Tiens, je m'aperçois que je n'avais pas mis l'endroit précis où Lucas parle du système minimum (je viens donc d'ajouter la ref précise dans l'article). Ceci dit, il ne détaille pas le calcul de la valeur de t. Je suppose qu'il pense acquise les propriétés de la fonction du second degré. Si $f(t)=At^{2}+Bt+C$, f atteint son minimmum de ${\frac {4AC-B^{2}}{4A}}$ pour $t={\frac {-B}{2A}}$. Ici, en développant , $f(t)=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})t^{2}+2(b_{1}x_{1}-a_{1}y_{1})t+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$. Le minimum est donc bien atteint pour $t={\frac {-B}{2A}}={\frac {a_{1}y_{1}-b_{1}x_{1}}{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}$. HB (discuter) 12 avril 2022 à 16:20 (CEST)

solutions

(sauf si bien entendu c'est un délit d'opinion sur wikipédia) je signale tout de même qu'il existe des solutions systématiques à cette équation et qu'on n'a donc pas épuisé le sujet.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 3 décembre 2014 à 22:08 (CET)