Une cross-cap est le résultat d'une somme connexe entre une variété de dimension 2 et un plan projectif. Intuitivement, elle consiste à percer un trou dans une variété et à recoudre le bord en identifiant les points diamétralement opposés[1].

Exemples et propriétés

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Deux vues de la sphère avec une cross-cap, formant le plan projectif. Deux autres immersions du plan projectif dans l'espace de dimension 3 sont données par la surface de Boy et la surface romaine.

Dans une immersion dans R3, la cross-cap se traduit par une auto-intersection, à proximité de laquelle la cross-cap ressemble au parapluie de Whitney, donc possède des points cuspidaux (en).

Classification des variétés de dimension 2

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Ces surfaces apparaissent dans le théorème de classification des variétés de dimension 2 : toute variété compacte de dimension 2 et sans bord est homéomorphe à la sphère (munie d'un certain nombre d'anses) avec 0, 1, ou 2 cross-caps[4]. En effet, notons   le tore,   le tore à n trous (somme connexe de n tores  ),   le plan projectif,   la somme connexe de n plans projectifs (ou la sphère munie de n cross-caps).   est la bouteille de Klein, et le théorème de Dick énonce que  , et plus généralement, pour tout entier n,   et  . On montre alors que toute surface compacte sans bord est homéomorphe à un   (0 cross-cap) si elle est orientable, et à un   si elle est non-orientable (tore à plusieurs trous muni de 1 cross-cap si n est impair, et 2 cross-caps si n est pair).

Notes et références

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  1. (en) Eric W. Weisstein, « Cross-Cap », sur MathWorld
  2. (en) H. S. M. Coxeter et W. O. J. Moster, Generators and relations for discrete groups (third edition), Springer-Verlag New-York, Heidelberg Berlin, , p. 25
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Dyck's Theorem », sur MathWorld, à ne pas confondre avec un autre théorème du même mathématicien : (en) Eric W. Weisstein, « vonDyck's Theorem », sur MathWorld.
  4. Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces, PUF, (ISBN 2-13-044708-2), p. 156

Liens externes

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  • Jos Leys, « The cross-cap » : animation d'une création d'une cross-cap.