Parapluie de Whitney

Le parapluie de Whitney est une surface présentant des auto-intersections dans l'espace ambiant de dimension 3. Elle doit son nom au mathématicien américain Hassler Whitney, qui a étudié cet objet au travers de ses travaux sur les singularités d'applications différentiables.

Illustration du parapluie de Whitney.

La construction du parapluie de Whitney en tant que surface réglée.

Formules

Les équations paramétriques de cette surface sont données en coordonnées cartésiennes par

${\begin{aligned}x(u,v)&=uv\\y(u,v)&=u\\z(u,v)&=v^{2}\end{aligned}}$

où les paramètres u et v décrivent l'ensemble des réels. Cette surface est contenue dans celle donnée par l'équation implicite :

$x^{2}=y^{2}z$

mais cette dernière inclut l'axe des z (aussi appelé poignée du parapluie), alors que la représentation paramétrique impose que z soit positif.

Propriétés

Il s'agit d'un objet d'étude important en théorie des singularités. Les applications génériques opérant sur des 2-variétés et à valeurs dans R³ ne présentent que deux types de singularités stables : les lignes où se recoupent la surface et le parapluie de Whitney (plus précisément le point inférieur). On doit à Whitney lui-même cette classification.

Le parapluie de Whitney est une surface réglée et même un conoïde droit, de directrice une parabole d'axe parallèle à son axe.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Whitney umbrella » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Vladimir Arnold, A. Varchenko et S. Goussein-Zadé, Singularités des applications différentiables, Moscou, Mir, 1984
• (en) « Whitney's Umbrella », The Topological Zoo, The Geometry Center (consulté le 8 mars 2006) (Images and movies of the Whitney umbrella.)