Corps gauche

algèbre à division
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En mathématiques, un corps gauche ou anneau à division (parfois simplement appelé corps, voir plus bas) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles certains types d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions. Plus précisément, un corps gauche est un anneau dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication.

Un corps gauche dont la multiplication est commutative est appelé « corps commutatif ». Certains auteurs (dont Bourbaki) appellent simplement « corps » un corps gauche, tandis que d'autres réservent cette dénomination aux corps commutatifs. On renvoie à l'article Corps (mathématiques) pour plus de détails.

DéfinitionModifier

Un corps gauche est un anneau (unitaire) non nul dans lequel tout élément non nul a un inverse. Dit autrement, c'est un anneau dans lequel les éléments non nuls forment un groupe pour la multiplication.

ExemplesModifier

  • Tout corps commutatif est un corps gauche.
  • L'exemple le plus célèbre de corps gauche non commutatif est celui des quaternions, découvert par William Rowan Hamilton en 1843.
  • Soit   un automorphisme de corps. Soit   l'anneau des séries de Laurent formelles à coefficients complexes avec la loi multiplicative définie de la façon suivante : au lieu de simplement autoriser les coefficients à commuter avec l'indéterminée  , pour  , on pose   pour  . Si   est un automorphisme non trivial du corps des complexes (par exemple la conjugaison), alors l'anneau des séries de Laurent formelles correspondant est un corps gauche non commutatif.

RésultatsModifier

Notes et référencesModifier

  1. André Blanchard, Les corps non commutatifs, PUF, , p. 43
  2. André Blanchard, op. cit., p. 66

Articles connexesModifier