Constante oméga

En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est le réel positif défini par l'égalité

$\Omega \mathrm {e} ^{\Omega }=1$,

où exp est la fonction exponentielle.

Autres définitions

La constante Ω vérifie :

• $\Omega =W_{0}(1)$.

  En effet, la fonction W de Lambert est la réciproque de la fonction $t\mapsto t\exp(t)$. Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction Oméga ;

• $\Omega =\exp(-\Omega )$ ;
• $\Omega =-\ln \Omega$.

Propriétés

Valeur approchée

Ω = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS).

Calcul itératif

Toute suite définie par récurrence par une valeur initiale arbitraire Ω₀ et $\Omega _{n+1}=\mathrm {e} ^{-\Omega _{n}}$ converge vers Ω.

Représentations intégrales

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1+\Omega }}$ $\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}t}}{{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}}\right){\rm {d}}t={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}{\rm {e}}^{t\cot t}\right){\rm {d}}t$

Transcendance

D'après le théorème d'Hermite-Lindemann, Ω est transcendant. En effet, si Ω était algébrique, $\Omega =\mathrm {e} ^{-\Omega }$ serait transcendant, ce qui est contradictoire.

Voir aussi

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Omega Constant », sur MathWorld
• (en) The Omega constant (Gérard P. Michon, Numerical Constants)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Omega constant » (voir la liste des auteurs).