Constante de Lebesgue (séries de Fourier)

séquence des nombres réels liées aux séries de Fourier

Dans l'étude des séries de Fourier, les constantes de Lebesgue permettent de quantifier la qualité de l'approximation.

Définition

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On se place, sans perte de généralité, sur l'intervalle [–π, π]. On considère une fonction f intégrable sur cet intervalle, et la somme partielle d'ordre n de sa série de Fourier :

  (noyau de Dirichlet).

Si, pour tout t réel, |f(t)| ≤ 1, alors :

 .

C'est cette valeur Ln qui est appelée la n-ième constante de Lebesgue. Elle est optimale, même en se restreignant aux fonctions f continues[1].

Léopold Fejér[2] en a trouvé une autre expression :

 .

Estimations

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Les trois premières valeurs des constantes de Lebesgue sont[3] :

  •   ;
  •   (suite A226654 de l'OEIS) ;
  •   ( A226655).

On sait que[3] :

  avec
  ( A243277), où Γ est la fonction gamma.

Notes et références

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  1. Voir par exemple Franck Boyer, « Analyse Fonctionnelle, TD 4 : Grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle (exercices corrigés) », exercice 10, ou cet exercice corrigé du chapitre « Théorème de Banach-Steinhaus » sur Wikiversité.
  2. Léopold Fejér, « Sur les singularités de la série de Fourier des fonctions continues », ASENS, vol. 28,‎ , p. 3-104 (lire en ligne) (p. 101-103).
  3. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Lebesgue Constants », sur MathWorld.