Constante de Komornik-Loreti

Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base $q$ pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son $q$-développement. La constante porte le nom des mathématiciens Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998.

Définition

Étant donné un nombre réel $q$ > 1, la série

$x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}$

est appelée une $q$-expansion, ou $\beta$-expansion, du nombre réel positif x si, pour tout $n\geqslant 0$ , $0\leqslant a_{n}\leqslant \lfloor q\rfloor$, où$\lfloor q\rfloor$ est la partie entière inférieure de $q$ et $a_{n}$ peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel $x$ tel que $0\leqslant x\leqslant q\lfloor q\rfloor /(q-1)$ possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.

Le cas particulier où $x=1$, $a_{0}=0$, et $a_{n}=0$ ou $a_{n}=1$ pour $n\geqslant 1$, est parfois appelé un $q$-développement de 1. Dans le cas où $a_{n}=1$ pour $n\geqslant 1$, la seule valeur possible de $q$ est $q$ = 2. Cependant, pour presque tout $1<q<2$, il existe un nombre infini de $q$-développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des $q\in [1,2]$ pour lesquels il n'existe qu'un seul $q$ -développement. De plus, il existe un plus petit nombre $1<q<2$ connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti pour lequel il existe un unique $q$-développement de 1.

Valeur

La constante de Komornik-Loreti est la quantité $q$ telle que

$1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}$

où $t_{k}$ est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que $t_{k}$ est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de $k$ . Elle a pour valeur

$q=1,787231650\ldots .\,$

La suite de ses décimales est donnée par la suite A055060 de l'OEIS.

La constante $q$ est aussi la seule racine réelle positive de

$\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.$

Cette constante est un nombre transcendant.

Voir également

• Constante d'Euler-Mascheroni
• Mot de Fibonacci
• Séquence Golay – Rudin – Shapiro
• Constante de Prouhet – Thue – Morse