Suite de Rudin-Shapiro

En mathématiques, et notamment en combinatoire des mots, la suite de Rudin-Shapiro, aussi connue sous le nom suite de Golay–Rudin–Shapiro est une suite automatique, nommée ainsi d'après Marcel Golay, Walter Rudin et Harold Shapiro, qui ont étudié indépendamment ses propriétés[1].

DéfinitionModifier

Chaque terme de la suite de Rudin-Shapiro est égal à 1 ou à -1. Le ne terme bn est défini comme suit : soit

 

le développement binaire de n et soit

 .

Le nombre an est le nombre d’occurrences du facteur 11 dans l'écriture binaire de n. Alors bn est défini par :

 

Ainsi, bn = 1 si le nombre de facteurs 11 dans l'écriture binaire de n est pair, et bn = -1 sinon[2].

Par exemple, pour n = 6, le développement binaire de 6 est 110, donc a6 = 1 et b6 = -1. Pour n = 7, le développement binaire est 111, il y a deux occurrences (chevauchantes) de 11, donc a7 = 2 et b7 = 1.

Les premiers termes de la suite (an) sont (on commence à 0) :

0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, ... (c'est la suite A014081 de l'OEIS)

et les termes correspondants de la suite (bn), qui constituent le début de la suite de Rudin-Shapiro, sont :

+1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, +1, +1, -1, -1, -1, +1, -1, ... (c'est la suite A020985 de l'OEIS)

PropriétésModifier

 
Automate de la suite de Rudin-Shapiro.
  • La suite de Rudin–Shapiro est engendrée par un automate fini à quatre états. Dans l'automate, les états coloriés en jaune produisent un terme +1, et les états coloriés en rouge un terme -1. Les noms des états mémorisent la situation : p pour un nombre pair d'occurrences de 11, et i pour un nombre impair; cette lettre est suivie du dernier bit lu. Par exemple, pour l'entier 108, dont l'écriture binaire est 11011000, la suite des états parcourus est
 .

La valeur calculée est +1.

  • La suite de Rudin-Shapiro est (uniformément) morphique, comme toute suite automatique. Soit   un alphabet à quatre lettres. Le morphisme 2-uniforme de A* dans lui-même défini par :
 

engendre, à partir de a, le mot infini :

 

La suite de Rudin-Shapiro est obtenue en envoyant a et b sur +1, et c et d sur -1.

  • La suite de Rudin-Shapiro est invariante par la substitution :
 

appliquée en groupant les termes deux par deux. Ces règles montrent qu'il n'y a pas plus que quatre symboles consécutifs égaux.

  • Les valeurs des suites   et   vérifient des relations de récurrence qui permettent de les calculer facilement. Posons en effet n = 2km, avec m impair. Alors on a :
 
 

Par exemple, on a  . En effet, l’écriture binaire de l'entier 108 est 11011000, et ce mot contient deux occurrences de 11. On obtient  .

  • La suite contient des palindromes : par exemple, le préfixe de longueur 10, à savoir +1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, +1, est un palindrome. La suite ne contient que des palindromes de longueur 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12 et 14[3]
  • Soit c(n) le nombre de facteurs de longueur n de la suite de Rudin–Shapiro, vue comme mot infini. On a  , et   pour  .
  • La suite de Rudin-Shapiro est liée à une suite de pliage de papier, à savoir la suite régulière définie par les instructions de pliage alternant 0 et 1. Cette suite de pliage est :
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1. . .

La suite déduite de celle-ci « par intégration », à savoir la suite de ses sommes partielles modulo 2, est suite :

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 . . .

C'est la suite de Rudin-Shapiro si on écrit 0 à la place de +1, et 1 à la place de -1.

  • La suite des sommes partielles de la suite de Rudin–Shapiro, définie par :
 

a les valeurs :

1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 5, 4, ... (C'est la suite A020986 de l'OEIS)

Elle vérifie l'inégalité :

 

pour  [1].

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rudin-Shapiro sequence » (voir la liste des auteurs).

RéférencesModifier

  • Jean-Paul Allouche et Jeffrey O. Shallit, Automatic sequences : Theory, applications, generalizations, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-82332-3, Math Reviews 1997038)

Article connexeModifier