Constante de Bernstein

La constante de Bernstein, usuellement désignée par la lettre grecque β (bêta), est une constante mathématique portant le nom de Sergueï Natanovitch Bernstein valant approximativement 0,2801694990^[1].

Définition

Soit E_n(ƒ) l'erreur de la meilleure approximation uniforme d'une fonction réelle ƒ définie sur [−1, 1] par un polynôme réel de degré au plus $n$ . Dans le cas où ƒ(x) = |x|, Bernstein^[2] a montré que la limite

\beta =\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(f),\,

dite constante de Bernstein, existe et est égale à 0,282 avec une erreur moindre que 0,004. Il a aussi signalé, comme une coïncidence curieuse, que ${\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\approx 0,282$ avec une erreur moindre que 0,0005.

Mais $\beta \neq {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}$ , Varga et Carpenter, ayant calculé ^[3]:

\beta =0,280169499023\dots \,.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernstein's constant » (voir la liste des auteurs).

↑ suite A073001 de l'OEIS
↑ S.N. Bernstein, « Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés », Acta Math., vol. 37,‎ 1914, p. 1–57 (DOI 10.1007/BF02401828, lire en ligne)
↑ Richard S. Varga et Amos J. Carpenter, « A conjecture of S. Bernstein in approximation theory », Math. USSR Sbornik, vol. 57, n^o 2,‎ 1987, p. 547–560 (DOI 10.1070/SM1987v057n02ABEH003086, MR 0842399)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Bernstein's Constant », sur MathWorld

[OEIS_A073001-1] suite A073001 de l'OEIS

[Bernstein1914-2] S.N. Bernstein, « Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés », Acta Math., vol. 37,‎ 1914, p. 1–57 (DOI 10.1007/BF02401828, lire en ligne)

[VargaCarpenter1987-3] Richard S. Varga et Amos J. Carpenter, « A conjecture of S. Bernstein in approximation theory », Math. USSR Sbornik, vol. 57, n^o 2,‎ 1987, p. 547–560 (DOI 10.1070/SM1987v057n02ABEH003086, MR 0842399)

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