Conjecture de Casas-Alvero

problème mathématiques irrésolu

La conjecture de Casas-Alvero est une déclaration affirmant que tout polynôme de degré ayant un zéro commun avec toutes ses dérivées est de la forme . Cette conjecture a été énoncée par le mathématicien espagnol Eduardo Casas-Alvero en 2001.

ÉnoncéModifier

La conjecture s'énonce de la manière suivante :

« Soit   un polynôme à coefficients complexes, disons de degré  , et supposons que chacune de ses dérivées  ,  , …,   admette un zéro commun avec  . Alors   pour des nombres  [1]. »

RésolutionModifier

En 2007, les mathématiciens Hans-Christian Graf von Bothmer, Olivier Labs, Josef Schicho et Christiaan van de Woestijne démontrent que la conjecture est vraie si   ou  . Où   est un nombre premier et   est un entier naturel non nul[2].

Mustapha Chellali et Alain Salinier prouvent que la conjecture est vraie si    est un nombre entier et   est un nombre premier différent de 2, 3, 7, 11, 131, 193, 599, 3541 et 8009. Ils publient leurs travaux sur HAL, une plateforme en ligne développée par le Centre pour la communication scientifique directe[3].

En 2018, le mathématicien argentin César Massri affirme avoir démontré la conjecture de Casas-Alvero dans son article The Casas-Alvero Conjecture is true[4].

RéférencesModifier

  1. Wouter Castryck, « La conjecture de Casas-Alvero », CNRS, (consulté le )
  2. Hans-Christian Graf von Bothmer, Olivier Labs, Josef Schicho et Christiaan van de Woestijne, « The Casas-Alvero conjecture for infinitely many degrees », Journal of Algebra, vol. 316, no 4,‎ , p. 224-230 (DOI 10.1016/j.jalgebra.2007.06.017, arXiv math/0605090)
  3. Alain Salinier & Mustapha Chellali, « La conjecture de Casas Alvero pour les degrés 5pe », HAL, (consulté le )
  4. (en) César Massri, « The Casas-Alvero Conjecture is true », Department of Mathematics, CAECE, Buenos Aires, Argentina, (consulté le )

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

  • [Chellali & Salinier 2012] Mustapha Chellali et Alain Salinier, « La conjecture de Casas Alvero pour les degrés 5pe », ?,‎ , p. 1-10 (DOI 10.48550/arXiv.1211.2059, lire en ligne)