Complexe de faisceaux

Un complexe de faisceaux $(K^{*},d^{*})$ sur un espace topologique X est une suite $(K^{n})$ de faisceaux de groupes sur X et une suite longue de morphismes de faisceaux :

$\dots \rightarrow K^{n-1}\rightarrow ^{d}K^{n}\rightarrow ^{d}K^{n+1}\rightarrow \dots$

telle que $d^{n}\circ d^{n+1}=0$. Le faisceau cohomologique $H^{j}(K^{*},d^{*})$ est le faisceau associé au préfaisceau quotient Ker $d^{j}$ / Im $d^{j-1}$.

Un morphisme $\Psi :(K^{*},d^{*})\rightarrow (L^{*},d^{*})$ de complexes de faisceaux est une suite $(\Psi ^{n}:K^{n}\rightarrow L^{n})$ de morphismes de faisceaux de groupes telle que : $\Psi ^{n+1}d^{n}=d^{n}\Psi ^{n}$. Un tel morphisme induit un morphisme au niveau des faisceaux cohomologiques :

$\Psi _{*}:H^{j}(K^{*},d^{*})\rightarrow H^{j}(L^{*},d^{*})$