Champ aléatoire de Markov

Un champ aléatoire de Markov est un ensemble de variables aléatoires vérifiant une propriété de Markov relativement à un graphe non orienté. C'est un modèle graphique.

DéfinitionModifier

Soit   un graphe non orienté et   un ensemble de variables aléatoires indexé par les sommets de  . On dit que   est un champ aléatoire de Markov relativement à   si une des trois propriétés suivantes est vérifiée

  •   , c'est-à-dire que deux variables aléatoires dont les sommets associés ne sont pas voisins dans le graphe   sont indépendantes conditionnellement à toutes les autres variables.
  •  , avec   l'ensemble des voisins de   et  . C'est-à-dire qu'une variable est indépendante de toutes les autres conditionnellement à son voisinage.
  •  , lorsque   sépare   et  : c'est-à-dire que tout chemin d'un sommet de   vers un sommet de   passe par un sommet de  .

Il existe des conditions sous lesquelles ces trois propriétés sont équivalentes mais ce n'est cependant pas toujours le cas. Par exemple, dans le cas où la loi de   admet une densité continue et strictement positive par rapport à une mesure les trois propriétés ci-dessus sont équivalentes[1]. Dans le cas où les variables aléatoires sont discrètes la stricte positivité de la loi suffit donc.

UtilisationModifier

Les champs de Markov sont utilisés, entre autres, pour la classification en fouille de données spatiales[2],[3], l'analyse d'images[4], la prédiction du trafic automobile[5], pour la cartographie des risques épidémiologiques[6].

Notes et référencesModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Steffen Lauritzen, Graphical models, USA, Oxford University Press, , 312 p. (ISBN 0-19-852219-3), p. 32-35
  2. Miller et Han 2009, p. 129
  3. [PDF]Foudil Belhad, « Reconstruction Tridimensionnelle à Partir de Coupes Seriées » (consulté le )
  4. [PDF](en) Carlos Hernandez-Gracidas, L. Enrique Sucar, « « Markov Random Fields and Spatial Information to Improve Automatic Image Annotation » » (consulté le )
  5. [PDF](en) Natalie Yudin, Jason Laska, « « Are we there yet? Traffic flow prediction via Markov Random Fields » » (consulté le )
  6. [PDF]Lamiae Azizi, « Champs aléatoires de Markov cachés spatio-temporels pour la cartographie du risque en épidémiologie », (consulté le )

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • (en) Harvey Miller et Jiawei Han, Geographic Data Mining and Knowledge Discovery, Boca Raton, CRC Press, , 458 p. (ISBN 978-1-4200-7397-3). 

Articles connexesModifier

Liens externesModifier