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Champ équiprojectif

Champ vectoriel tel que, pour tout couple de points, les projections de deux vecteurs en ces points sur la droite les reliant soient égales

Dans un espace affine euclidien , un champ de vecteurs est équiprojectif[1] si :

désigne le produit scalaire.

Il existe alors un endomorphisme antisymétrique tel que :

.

Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique.

Sommaire

Démonstration de l'existence de l'endomorphismeModifier

AntisymétrieModifier

Soit   un point arbitraire de  . Pour tout vecteur  , il existe un unique point   tel que   et on définit   par  .

Montrons que, pour tous vecteurs   et  , on a :

 

ce qui prouve l'antisymétrie de  [2].

On a en effet :

 
  en utilisant l'équiprojectivité du champ  
 
 
  en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.

Si on échange les rôles de   et  , on obtiendra :

 

On obtient bien :

 

LinéaritéModifier

On déduit de l'antisymétrie que   est linéaire. En effet, pour tout  ,  ,  , on a :

 

Cette égalité étant vraie pour tout  , on en déduit que :

 

On procède de même pour montrer que :

 

Cas de la dimension 3, torseurModifier

Article détaillé : Torseur.

Dans une base orthonormée directe,  , étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique[1]

 

Si on nomme   le vecteur de composantes  , alors la matrice précédente est celle de l'application  .

On a donc   et donc

 

  est le champ des moments d'un torseur de résultante  .

ExempleModifier

L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si   et   sont deux points du solide, et si on note   la distance entre   et  , on a :

 

et en dérivant par rapport au temps :

 

  désigne la vitesse en un point.

Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur   s'appelle vecteur instantané de rotation.

Notes et référencesModifier

  1. a et b « Champ de vecteurs - Champ de vecteurs équiprojectif », sur jdotec.net (consulté le 1er octobre 2010)
  2. « Cinématique du solide » [PDF], sur melusine.eu.org (consulté le 1er octobre 2010)

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Algèbre et applications à la géométrie, Masson, coll. « Cours de mathématiques spéciales » (no 2), (ISBN 2-225-63404-1), chap. 8 (« Les torseurs »), p. 276-294

Articles connexesModifier