Cercle de Tücker

cercles liés à un triangle intersectant ses côtés, construit de sorte à avoir des propriétés très particulières

En géométrie, les cercles de Tücker désignent des cercles liés à un triangle intersectant ses côtés, construit de sorte à avoir des propriétés très particulières.

DéfinitionsModifier

Il existe trois façons équivalents de construire un cercle de Tücker.

Par homothétieModifier

Dans une homothétie de centre L, le point de Lemoine, de rapport k (différent de 1 et de 0), le triangle ABC a pour image A’B’C’. En prolongeant les côtés, les côtés du triangle A’B’C’ rencontrent ceux de ABC en six points.

Ces points sont cocycliques et forment un hexagone de Lemoine.

Par construction des antiparallèlesModifier

On considère un point M du côté AB, différent de A et B. En traçant l'antiparallèle à BC par rapport à (AB) et (AC) (soit la droite passant par M et parallèle à la tangente au cercle circonscrit de ABC en A), cette droite intersecte AC en un point N. La parallèle à AB passant par N intersecte AC en un point P. En continuant le processus, ou en traçant directement le cercle passant par M, N et P, on construit les trois points Q, R et S qui complètent l'hexagone de Lemoine.

En effet, un raisonnement sur les antiparallélismes permet de vérifier que PQ est antiparallèle de AC par rapport à (BA,BC)

Par construction de trois antiparallèles de longueur égaleModifier

Les droites (MN), (PQ) et (RS) sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Cette propriété peut être prise comme définition en déterminant trois segments [MN], [PQ], [RS] de longueur égale et parallèles aux tangentes en A, B, C au cercle circonscrit.

Triangles tangentielsModifier

En revenant de la construction par homothétie du cercle de Tücker pour la définition des points U, V, W. On définit les points U1, U2 et U3, intersections des droites (PQ), (RS) et (MN). Ils sont situés sur les symédianes. Le triangle U1U2U3 est le triangle tangentiel de UVW, et est homothétique du triangle tangentiel T1T2T3 de ABC dans l'homothétie de centre L.

Milieu des cordes, construction à partir d'un centre donnéModifier

Les milieux forment un triangle UVW se déduisant de ABC dans une homothétie de centre L de rapport k. Dans cette homothétie, le point O a pour image Ω avec LΩ/LO = |k|. Ce point Ω est le centre du cercle circonscrit à UVW. La droite (UΩ) parallèle à (OA) est perpendiculaire à (MN), c'est la médiatrice de [MN]. De même (VΩ) est la médiatrice de [PQ]. Ω est bien le centre du cercle (T).

Un cercle de Tücker est caractérisé par son centre Ω situé sur (OL), distinct de O et de L.

PropriétésModifier

Les milieux des côtés de l'hexagone de Lemoine intérieurs au triangle sont situés sur les symédianes et forment un triangle UVW homothétique de ABC dans une homothétie de centre L.

Les côtés de l'hexagone de Lemoine intérieurs au triangle sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Le centre du cercle de Tücker est le milieu du segment formé par les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC et A’B’C’.

En notant le rapport d'homothétie

 

le rayon du cercle de Tücker vaut

 

R est le rayon du cercle circonscrit à ABC et ω son angle de Brocard.

Cas particuliers

On peut en déduire ainsi plusieurs cas particuliers de cercle de Tücker :

  • son cercle d'Apollonius (le cercle tangent intérieurement aux trois cercles exinscrits à ABC, pour λ = s(s2 - r2)/abc, avec r le rayon du cercle inscrit de ABC et s son demi-périmètre)
  • son cercle circonscrit (pour λ = 1)
  • ses deux cercles de Lemoine (pour λ = 1/2 et λ = 0, respectivement)
  • son cercle de Taylor (pour  )
  • ses cercles de Gallatly et de Kenmotu

BibliographieModifier

Liens externesModifier